ریاضیات

الف) اثبات فرم ایده‌آل ماکزیمال (صفحه ۴۵):

فرض کنید M ⊆ R = K[x₁, ..., xₙ] یک ایده‌آل ماکزیمال باشد. نگاشت هم‌ریختی طبیعی φ: K → R/M یک‌به‌یک است (زیرا هستهٔ آن ایده‌آلی در میدان K است، پس ker φ = (0)). بنابراین K را می‌توان زیرمیدانِ R/M دید.

از آنجا که R یک K-جبرِ متناهی‌مولد است، میدان R/M روی K متناهی و جبری است. چون K جبراً بسته است، نتیجه می‌شود R/M ≅ K.

حال برای هر متغیر xᵢ، عنصری چون aᵢ ∈ K وجود دارد که تصویر آن در خارج‌قسمت با xᵢ برابر است؛ یعنی xᵢ - aᵢ ∈ M. در نتیجه:

(چرا که هر دو طرف ایده‌آل ماکزیمال هستند و نمی‌توانند شمول اکید داشته باشند).

ب) اثبات فرم ضعیف صفرها (صفحه ۴۵ و ۴۶):

اگر J ⊊ R یک ایده‌آل سره باشد، بنا به لم زور درون یک ایده‌آل ماکزیمال M جای می‌گیرد. طبق قسمت قبل، M = 〈x₁ - b₁, ..., xₙ - bₙ〉. پس هر f ∈ J به شکل f = ∑ (xᵢ - bᵢ)fᵢ نوشته شده و در نتیجه f(b₁, ..., bₙ) = 0. بنابراین (b₁, ..., bₙ) ∈ V(J) و در نتیجه V(J) ≠ ∅.

ج) اثبات فرم قوی: I(V(J)) = √J با «ترفند رابینوویچ» (صفحات ۴۶ و ۴۷):

شمول √J ⊆ I(V(J)) بدیهی است زیرا اگر fᵐ ∈ J باشد، روی صفرهای J مقدار (f(c))ᵐ = 0 و چون در میدان هستیم f(c) = 0.

برای اثبات شمول معکوس I(V(J)) ⊆ √J:

فرض کنید f ∈ I(V(J)). متغیر جدید xₙ₊₁ را افزوده و حلقهٔ S = K[x₁, ..., xₙ, xₙ₊₁] و ایده‌آل J' = 〈J, xₙ₊₁f - 1〉 را در نظر می‌گیریم.

اگر J' ایده‌آل سره باشد، طبق فرم ضعیف دارای نقطهٔ صفر (b₁, ..., bₙ, bₙ₊₁) خواهد بود. چون J ⊆ J' است، نقطهٔ (b₁, ..., bₙ) ∈ V(J) خواهد بود و لذا f(b₁, ..., bₙ) = 0. اما از طرفی باید bₙ₊₁ f(b₁, ..., bₙ) - 1 = 0 باشد که تناقض -1 = 0 می‌دهد!

پس حتماً J' = S است؛ یعنی عدد ۱ در آن تولید می‌شود:

با اعمال هم‌ریختی xₙ₊₁ ↦ 1/f، عبارت دوم صفر شده و با ضرب در توانِ مناسب fᵈ برای حذف مخرج‌ها، به رابطهٔ زیر می‌رسیم:

رابطهٔ هم‌ارزی روی A × S (صفحه ۴۸):

اثبات خاصیت تعدی (Transitivity): اگر (a, s) ∼ (a', s') و (a', s') ∼ (a'', s'') باشد، عناصر t, t' ∈ S وجود دارند به طوری که t(as' - sa') = 0 و t'(a's'' - s'a'') = 0. با ضربِ رابطهٔ اول در s''t' و رابطهٔ دوم در st و جمع آن‌ها، داریم:

(tt's')(as'' - sa'') = 0. چون tt's' ∈ S است، نتیجه می‌دهد (a, s) ∼ (a'', s''). ∎

اعمال جبری در S⁻¹A (صفحه ۴۹):

کلاس‌های هم‌ارزی را با a/s نمایش می‌دهیم. اعمال به صورت زیر تعریف می‌شوند:

عنصر صفر 0/1 و عنصر یک 1/1 است و نگاشت کانونیکال f: A → S⁻¹A با ضابطهٔ f(a) = a/1 تعریف می‌شود.

خاصیت جهانی حلقهٔ کسرها (Universal Property - صفحه ۴۹):

اگر g: A → R' یک هم‌ریختی باشد به طوری که برای هر s ∈ S تصویر g(s) در R' وارون‌پذیر باشد، آنگاه یکتا هم‌ریختی حلقهٔ h: S⁻¹A → R' وجود دارد به طوری که h ∘ f = g و ضابطهٔ آن برابر است با: