ریاضیات

۱. مؤلفهٔ تحویل‌ناپذیر (Irreducible Component):

اگر چندگونهٔ V به صورت اجتماع متناهی V = V₁ ∪ V₂ ∪ ... ∪ Vₘ از چندگونه‌های تحویل‌ناپذیر با شرط Vᵢ ⊈ Vⱼ (به ازای i ≠ j) نوشته شود، هر یک از زیرمجموعه‌های بستهٔ Vᵢ را یک مؤلفهٔ تحویل‌ناپذیرِ V می‌نامند. این مؤلفه‌ها زیرچندگونه‌های تحویل‌ناپذیرِ ماکزیمال در V هستند.

۲. رادیکالِ ایده‌آل (Radical of an Ideal):

برای هر ایده‌آل I ⊆ A، رادیکال آن که با Rad(I) یا √I نمایش داده می‌شود، عبارت است از مجموعه عناصری که توانی از آن‌ها در I قرار دارد:

اگر I = Rad(I) باشد، ایده‌آل I را ایده‌آل رادیکال می‌گویند.

۳. ایده‌آل ماکزیمال نقطه‌ای (Maximal Ideal of a Point):

در حلقهٔ K[x₁, ..., xₙ]، ایده‌آل متناظر با تک‌نقطهٔ p = (a₁, ..., aₙ) ∈ Kⁿ به صورت M_p = 〈x₁ - a₁, ..., xₙ - aₙ〉 است که یک ایده‌آل ماکزیمال با خارج‌قسمتِ K[x₁, ..., xₙ] / M_p ≅ K می‌باشد.

مثال ۱ (تجزیهٔ منحنی تلاقی خط و دایره / دو خط):

چندگونهٔ V(x² - y²) ⊆ A²(k) را در نظر بگیرید. از آن‌جا که x² - y² = (x - y)(x + y)، داریم:

• دو خط L₁ = V(x - y) و L₂ = V(x + y) هر کدام تحویل‌ناپذیرند و هیچ‌کدام زیرمجموعهٔ دیگری نیستند.

• بنابراین L₁ و L₂ دقیقاً مؤلفه‌های تحویل‌ناپذیرِ این چندگونه هستند.

مثال ۲ (محاسبهٔ رادیکال و قضیهٔ هیلبرت):

ایده‌آل J = 〈x², y³〉 ⊆ k[x, y] را در نظر بگیرید:

• مجموعهٔ صفرهای این ایده‌آل تنها مبدأ مختصات است: V(J) = {(0, 0)}.

• ایده‌آلِ هندسیِ این نقطه برابر است با I(V(J)) = 〈x, y〉.

• طبق قضیهٔ هیلبرت: Rad(J) = √〈x², y³〉 = 〈x, y〉 = I(V(J)) که توان‌ها را حذف کرده و ساختار رادیکال را آشکار می‌سازد.

مثال ۳ (تناظر معکوس چندگونه و ایده‌آل - صفحه ۴۳):

فرض کنید نقطهٔ P = (1, 2) روی سهمی C: y = x + 1 در A² قرار داشته باشد ({P} ⊂ C):

مجموعهٔ کوچک‌تر (نقطه) متناظر با ایده‌آلِ بزرگ‌تر (ماکزیمال) است؛ همان‌طور که در تبصرهٔ صفحه ۴۳ تصریح شده است.