منزلِ چهاردهم: فضایِ تصویری (Projective Space)
آنجا که خطوطِ موازی به هم میرسند
در فضایِ آفین، دو خطِ موازی هیچگاه تلاقی نمیکنند. اما در فضایِ تصویری، ما یک «ابرصفحهیِ بینهایت» به فضا میافزاییم. در اینجا، مختصاتِ ما به جایِ (x, y) به صورتِ (x : y : z) تعریف میشود.
همگنسازی (Homogenization):
برایِ انتقالِ یک معادله از آفین به تصویری، باید آن را «همگن» کنیم؛ یعنی درجهیِ تمامِ جملات را برابر کنیم. مثلاً اگر معادلهیِ y = x² باشد:
y ᐧ z = x²
حالا اگر z = 1 قرار دهیم، به فضایِ آفین برمیگردیم و اگر z = 0 باشد، ما در «افقِ بینهایت» هستیم.
چرا این هندسه برتر است؟
- اتمامِ ناپیوستگیها: بسیاری از قضایا (مثلِ قضیهیِ بزو) در فضایِ تصویری بسیار زیباتر و کاملتر بیان میشوند.
- تعادلِ جبری: چون معادلات همگن هستند، مختصاتِ (x : y : z) با (λx : λy : λz) یکی است (مقیاسپذیری).
فضایِ تصویری، نگاهِ کلنگر است؛ جایی که بینهایت، نه یک پایان، بلکه نقطهیِ اتصالی است برایِ وحدتِ کثرتها.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.