منزلِ یازدهم: بعدِ کرول (عمقِ هندسه)
سنجشِ ترازویِ هستی در جبرِ چندگونهها
بعدِ یک چندگونهیِ جبری، نشاندهندهیِ میزانِ «آزادیِ» آن است. در هندسهیِ جبری، ما این بعد را نه با خطکش، بلکه با زنجیرهیِ ایدهآلهایِ اول (Prime Ideals) اندازه میگیریم.
تعریفِ شهودی:
بعدِ کرول یک حلقه (dim A)، برابر است با بیشترین طولِ ممکن برای یک زنجیرهیِ اکیداً صعودی از ایدهآلهایِ اول:
P₀ ⊂ P₁ ⊂ P₂ ⊂ ... ⊂ Pₙ
در اینجا، هر P یک ایدهآلِ اول است. عددِ n، همان بعدِ فضایِ ماست.
مثالهایِ ملموس:
- نقطه: بعدِ آن صفر است (dim = 0). چون هیچ زنجیرهای بزرگتر از یک ایدهآلِ ماکزیمال در آن نمیگنجد.
- خط: بعدِ آن یک است (dim = 1). زنجیره: (0) ⊂ P.
- صفحه: بعدِ آن دو است (dim = 2).
بعدِ کرول، مرز میانِ جبرِ محض و درکِ شهودیِ ما از فضاست.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.