منزلِ دوم
برهانِ خلف و فرجامِ تساویِ ایدهآلها
از ساختِ ایدهآلِ فرعی تا شکستِ فرضِ خلف و اثباتِ نوتریبودن
۱. ساختِ ایدهآلِ فرعی: ایدهآلی جدید از چندجملهایهایِ منتخبِ خود در نظر میگیریم. به روشنی مشخص است که این ایدهآلِ جدید، زیرمجموعهای از ایدهآلِ اصلیِ ماست. مقصودِ نهایی آن است که ثابت کنیم این دو کاملاً با یکدیگر برابرند.
۲. آغازِ برهانِ خلف: برایِ اثباتِ تساوی، فرضِ خلف میکنیم؛ یعنی فرض نماییم که ایدهآلِ جدید، کوچکتر از ایدهآلِ اصلی باشد. در این صورت، حتماً چندجملهایای در ایدهآلِ اصلی وجود دارد که در ایدهآلِ جدید حضور ندارد.
۳. گزینشِ کمترین درجه: از میانِ تمامِ چندجملهایهایی که بیرون از ایدهآلِ جدید ماندهاند، آن یکی را برمیگزینیم که کمترین درجهیِ ممکن را داشته باشد.
۴. فرآیندِ فرسایشِ درجه: با بهرهگیری از مولدهایِ ضریبِ پیشرو و کم کردنِ ترکیبِ خطیِ مناسبِ آنها از چندجملهایِ برگزیده، میتوانیم ضریبِ پیشرویِ آن را خنثی کنیم. با این کار، چندجملهایِ جدیدی حاصل میشود که درجهیِ آن از مقدارِ قبلی کمتر است.
۵. رسیدن به تناقض و ثبوتِ حکم: از آنجا که چندجملهایِ جدید درجهیِ کمتری دارد، دیگر نمیتواند ویژگیِ «کمترین درجه در میانِ خارجشدگان» را نقض کند و ناچاراً باید درونِ ایدهآلِ جدید قرار گیرد. این امر تناقضی آشکار با فرضِ اولیه پدید میآورد؛ پس فرضِ خلف باطل شده و تساویِ دو ایدهآل اثبات میگردد.
فرجامِ سخن:
با اثباتِ این که هر ایدهآل در حلقهیِ چندجملهایهایِ یکمتغیره متناهیتولید است، و سپس با بهرهگیری از استقرا بر روی تعدادِ متغیرها، حکمِ نهاییِ قضیهیِ پایهیِ هیلبرت برای هر تعداد متغیر مستحکم میگردد.
پایانِ روایتِ برهانِ هیلبرت | همآهنگ و پاکیزه برای انتشار در وبلاگ
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.