برهانِ قضیهیِ پایهیِ هیلبرت
سفری هفتمنزل در وادیِ نور و نظمِ متناهی
بیانِ قضیه:
اگر A حلقهای نوتری باشد (هر ایدهآلش متناهیتولید)، آنگاه حلقهیِ چندجملهای A[x] نیز نوتری است.
آمادهسازیِ ذهن — واژگانِ سفر
مفهوم
معنا
ضریبِ پیشرو
ضریبِ جملهیِ با بالاترین درجه (در 3x² + 2x + 1، ضریبِ پیشرو ۳ است)
ایدهآلِ ضرایبِ پیشرو
مجموعهیِ تمامِ ضرایبِ پیشروِ اعضایِ یک ایدهآل
نوتری
هر ایدهآل، با تعدادِ متناهی مولد ساخته میشود
گامهایِ برهان — هفت منزلِ عروج
منزلِ اول — فرضِ آغاز: فرض کن I یک ایدهآلِ دلخواه در A[x] باشد. میخواهیم نشان دهیم I متناهیتولید است.
منزلِ دوم — ایدهآلِ ضرایبِ پیشرو: مجموعهیِ تمامِ ضرایبِ پیشروِ اعضایِ I را بگیر. این مجموعه، خود ایدهآلی در A است (زیرا تحتِ جمع و ضربِ اسکالر بسته است). چون A نوتری است، این ایدهآل متناهیتولید است. برایِ هر مولد، یک چندجملهایِ متناظر در I انتخاب کن.
منزلِ سوم — تعیینِ درجهیِ بیشینه: بگذار d بیشینهیِ درجاتِ چندجملهایهایِ انتخابشده باشد. این d، مرزِ بالایِ نظافتِ ضرایبِ پیشروست.
منزلِ چهارم — ایدهآلِ پاییندست: ایدهآلِ J را توسطِ همان چندجملهایهایِ انتخابشده بساز. روشن است که J ⊆ I.
منزلِ پنجم — تسخیرِ اعضایِ درجهیِ بالا: هر عضوِ f از I که درجهاش از d کمتر نباشد، ضریبِ پیشرویش ترکیبِ خطیِ ضرایبِ پیشرویِ مولدهایِ J است. با کمکردنِ ترکیبِ خطیِ مناسبِ اعضایِ J، جملهیِ با درجهیِ بیشینه حذف میشود و درجهیِ f کاهش مییابد.
منزلِ ششم — نظمِ بخشیدن به پاییندست: آنچه در منزلِ پنجم انجام شد، هر عضوِ I را به عضوی با درجهیِ کمتر از d فرو میکاهد. برایِ هر درجهیِ پایینتر (که تعدادشان متناهی است)، ایدهآلِ ضرایبِ پیشرویِ متناظر را بساز و چون A نوتری است، آن را متناهیتولید کن. مولدهایِ متناظر را به مجموعه اضافه کن.
منزلِ هفتم — فرجامِ نور: ایدهآلِ نهایی که با همهیِ این مولدهایِ متناهی ساخته میشود، دقیقاً برابر با I است. پس هر ایدهآلِ A[x] متناهیتولید است، و A[x] نوتری است. ☐ (تمام شد)
حاصلِ سخن: در این سفر، کثرتِ ایدهآلها به وحدتِ متناهیِ مولدها فروکاسته شد — پیامِ همیشگیِ «وحدت در کثرت».
برگرفته از سفرنامهیِ هندسهیِ جبری | به کوششِ رهروِ وادیِ دانش
برهانِ قضیهیِ پایهیِ هیلبرت
سفری هفتمنزل در وادیِ نور و نظمِ متناهی
بیانِ قضیه:
اگر A حلقهای نوتری باشد (هر ایدهآلش متناهیتولید)، آنگاه حلقهیِ چندجملهای A[x] نیز نوتری است.
آمادهسازیِ ذهن — واژگانِ سفر
| مفهوم | معنا |
|---|---|
| ضریبِ پیشرو | ضریبِ جملهیِ با بالاترین درجه (در 3x² + 2x + 1، ضریبِ پیشرو ۳ است) |
| ایدهآلِ ضرایبِ پیشرو | مجموعهیِ تمامِ ضرایبِ پیشروِ اعضایِ یک ایدهآل |
| نوتری | هر ایدهآل، با تعدادِ متناهی مولد ساخته میشود |
گامهایِ برهان — هفت منزلِ عروج
منزلِ اول — فرضِ آغاز: فرض کن I یک ایدهآلِ دلخواه در A[x] باشد. میخواهیم نشان دهیم I متناهیتولید است.
منزلِ دوم — ایدهآلِ ضرایبِ پیشرو: مجموعهیِ تمامِ ضرایبِ پیشروِ اعضایِ I را بگیر. این مجموعه، خود ایدهآلی در A است (زیرا تحتِ جمع و ضربِ اسکالر بسته است). چون A نوتری است، این ایدهآل متناهیتولید است. برایِ هر مولد، یک چندجملهایِ متناظر در I انتخاب کن.
منزلِ سوم — تعیینِ درجهیِ بیشینه: بگذار d بیشینهیِ درجاتِ چندجملهایهایِ انتخابشده باشد. این d، مرزِ بالایِ نظافتِ ضرایبِ پیشروست.
منزلِ چهارم — ایدهآلِ پاییندست: ایدهآلِ J را توسطِ همان چندجملهایهایِ انتخابشده بساز. روشن است که J ⊆ I.
منزلِ پنجم — تسخیرِ اعضایِ درجهیِ بالا: هر عضوِ f از I که درجهاش از d کمتر نباشد، ضریبِ پیشرویش ترکیبِ خطیِ ضرایبِ پیشرویِ مولدهایِ J است. با کمکردنِ ترکیبِ خطیِ مناسبِ اعضایِ J، جملهیِ با درجهیِ بیشینه حذف میشود و درجهیِ f کاهش مییابد.
منزلِ ششم — نظمِ بخشیدن به پاییندست: آنچه در منزلِ پنجم انجام شد، هر عضوِ I را به عضوی با درجهیِ کمتر از d فرو میکاهد. برایِ هر درجهیِ پایینتر (که تعدادشان متناهی است)، ایدهآلِ ضرایبِ پیشرویِ متناظر را بساز و چون A نوتری است، آن را متناهیتولید کن. مولدهایِ متناظر را به مجموعه اضافه کن.
منزلِ هفتم — فرجامِ نور: ایدهآلِ نهایی که با همهیِ این مولدهایِ متناهی ساخته میشود، دقیقاً برابر با I است. پس هر ایدهآلِ A[x] متناهیتولید است، و A[x] نوتری است. ☐ (تمام شد)
حاصلِ سخن: در این سفر، کثرتِ ایدهآلها به وحدتِ متناهیِ مولدها فروکاسته شد — پیامِ همیشگیِ «وحدت در کثرت».
برگرفته از سفرنامهیِ هندسهیِ جبری | به کوششِ رهروِ وادیِ دانش
قضیهیِ پایهیِ هیلبرت
سفری هفتمنزل در وادیِ نور و نظمِ متناهی
بیانِ قضیه:
اگر A حلقهای نوتری باشد (هر ایدهآلش متناهیتولید)، آنگاه حلقهیِ چندجملهای A[x] نیز نوتری است.
آمادهسازیِ ذهن — واژگانِ سفر
| مفهوم | معنا |
|---|---|
| ضریبِ پیشرو | ضریبِ جملهیِ با بالاترین درجه (در 3x² + 2x + 1، ضریبِ پیشرو ۳ است) |
| ایدهآلِ ضرایبِ پیشرو | مجموعهیِ تمامِ ضرایبِ پیشروِ اعضایِ یک ایدهآل |
| نوتری | هر ایدهآل، با تعدادِ متناهی مولد ساخته میشود |
گامهایِ برهان — هفت منزلِ عروج
منزلِ اول — فرضِ آغاز: فرض کن I یک ایدهآلِ دلخواه در A[x] باشد. میخواهیم نشان دهیم I متناهیتولید است.
منزلِ دوم — ایدهآلِ ضرایبِ پیشرو: مجموعهیِ تمامِ ضرایبِ پیشروِ اعضایِ I را بگیر. این مجموعه، خود ایدهآلی در A است (زیرا تحتِ جمع و ضربِ اسکالر بسته است). چون A نوتری است، این ایدهآل متناهیتولید است. برایِ هر مولد، یک چندجملهایِ متناظر در I انتخاب کن.
منزلِ سوم — تعیینِ درجهیِ بیشینه: بگذار d بیشینهیِ درجاتِ چندجملهایهایِ انتخابشده باشد. این d، مرزِ بالایِ نظافتِ ضرایبِ پیشروست.
منزلِ چهارم — ایدهآلِ پاییندست: ایدهآلِ J را توسطِ همان چندجملهایهایِ انتخابشده بساز. روشن است که J ⊆ I.
منزلِ پنجم — تسخیرِ اعضایِ درجهیِ بالا: هر عضوِ f از I که درجهاش از d کمتر نباشد، ضریبِ پیشرویش ترکیبِ خطیِ ضرایبِ پیشرویِ مولدهایِ J است. با کمکردنِ ترکیبِ خطیِ مناسبِ اعضایِ J، جملهیِ با درجهیِ بیشینه حذف میشود و درجهیِ f کاهش مییابد.
منزلِ ششم — نظمِ بخشیدن به پاییندست: آنچه در منزلِ پنجم انجام شد، هر عضوِ I را به عضوی با درجهیِ کمتر از d فرو میکاهد. برایِ هر درجهیِ پایینتر (که تعدادشان متناهی است)، ایدهآلِ ضرایبِ پیشرویِ متناظر را بساز و چون A نوتری است، آن را متناهیتولید کن. مولدهایِ متناظر را به مجموعه اضافه کن.
منزلِ هفتم — فرجامِ نور: ایدهآلِ نهایی که با همهیِ این مولدهایِ متناهی ساخته میشود، دقیقاً برابر با I است. پس هر ایدهآلِ A[x] متناهیتولید است، و A[x] نوتری است. ☐ (تمام شد)
حاصلِ سخن: در این سفر، کثرتِ ایدهآلها به وحدتِ متناهیِ مولدها فروکاسته شد — پیامِ همیشگیِ «وحدت در کثرت».
برگرفته از سفرنامهیِ هندسهیِ جبری | به کوششِ رهروِ وادیِ دانش
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.