۱. ترسیم هندسیِ صفرهای چندجمله‌ای (صفحه ۲۵)

در این صفحه، نگاره‌ها و نمودارهای شهودی زیبایی ترسیم شده‌اند که هر یک توصیف‌گرِ یک مجموعه‌ی جبری خاص در صفحه‌ی آفین هستند:

• منحنی بیضوی (نشان داده شده با گره یا کراس): به عنوانِ مجموعه‌ی صفرهای چندجمله‌ایِ Y² − X²(X + 1) = 0 که در مبدأ مختصات خود را قطع می‌کند.
• مجموعه‌های صفر تک‌متغیره: مانند مجموعه‌ی صفرهای چندجمله‌ای تک‌متغیره V(X − 1) که نمایش هندسی آن یک خط راست است.
• مجموعه‌ی صفرهایِ دو معادله‌ای: مانند V({X − 1, Y − 1}) که نشان‌دهنده‌ی تلاقی دو خط و در نتیجه یک نقطه‌ی تنها در صفحه است.
• مخروطِ متقاطع: ترسیمِ V(Z² − (X² + Y²)) که در فضای سه‌بعدی آفین یک مخروطِ دوطرفه پدید می‌آورد.

۲. قضیه برابری صفرهای ایده آل و مجموعه‌ی مولد (صفحه ۲۶)

مسئله‌ی اساسی این است: اگر مجموعه‌ای از چندجمله‌ای‌ها (مانند S) داشته باشیم، آیا صفرهای آن با صفرهای ایده‌آلِ تولید شده توسط آن (مانند I) یکسان است؟

قضیه: اگر I ایده‌آلِ تولید شده توسط مجموعه‌ی S در حلقه‌ی چندجمله‌ای‌ها باشد، آنگاه:

V(S) = V(I)

برهان به اجمال:

۱) از آنجا که S زیرمجموعه‌ی I است، پس هر نقطه‌ای که تمام اعضای I را صفر کند، اعضای S را نیز صفر خواهد کرد. یعنی: V(I) ⊆ V(S).

۲) برای جهت عکس، فرض کنید نقطه‌ی x عضو V(S) باشد. هر عضو ایده آلِ I ترکیبی خطی به فرم ∑ p_i f_i است که در آن f_iها در S هستند. از آنجا که f_i(x) = 0، کلِ ترکیب خطی در نقطه‌ی x صفر می‌شود. پس x عضو V(I) است. در نتیجه: V(S) ⊆ V(I). از این دو نتیجه، برابری حاصل می‌شود.

۳. ایده‌آلِ نقاطِ منفرد و تجزیه‌ناپذیری (صفحه ۲۷)

در صفحه ۲۷، با تعریفِ ایده آلِ تولید شده توسط یک نقطه‌ی منفرد چون a = (a₁, ..., a_n) در فضای آفین روبرو می‌شویم. این ایده‌آل که با عناصرِ تولیدکننده به فرمِ (X₁ − a₁, ..., X_n − a_n) تعریف می‌شود، یک ایده‌آل ماکزیمم در حلقه‌ی چندجمله‌ای‌ها است.

همچنین مفهومِ تجزیه‌ناپذیری (Irreducibility) در مجموعه‌های جبری در پایین این صفحه آغاز می‌شود: مجموعه‌ی جبریِ ناتهی X را تجزیه‌ناپذیر گویند هرگاه نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه‌ی جبریِ سره‌یِ کوچکتری نوشت.

۴. نگاشتِ معکوس: تعریفِ ایده آلِ یک مجموعه (صفحه ۲۸)

اگر V چندجمله‌ای‌ها را به نقاط (هندسه) تبدیل می‌کند، نگاشتِ معکوسی وجود دارد که به هر مجموعه‌ی هندسی، یک ایده‌آل نسبت می‌دهد:

I(X) = { g عضو حلقه‌ی چندجمله‌ای‌ها : برای هر x در X داریم g(x) = 0 }

این ایده آل را ایده‌آلِ محوکننده (Vanishing Ideal) مجموعه‌ی X می‌نامند. در ادامه قوانینِ جبرِ مجموعه‌های جبری آفین بیان می‌شود:

• اشتراکِ دلخواه از مجموعه‌های جبری، خود یک مجموعه‌ی جبری است: ∩ V(I_α) = V( ∑ I_α )
• اجتماعِ دو مجموعه‌ی جبری، یک مجموعه‌ی جبری است: V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J) = V(I · J)

۵. برهانِ قوانینِ جبرِ مجموعه‌های جبری (صفحه ۲۹)

در صفحه ۲۹، اثباتِ برابری‌های مربوط به اجتماع و اشتراکِ مجموعه‌های جبری ارائه شده است:

اثبات برابریِ اجتماع: هدف اثباتِ V(I) ∪ V(J) = V(I ∩ J) است.

• بخش اول: چون (I ∩ J) زیرمجموعه‌ی هر دو ایده‌آل I و J است، پس صفرهای I و J هر دو زیرمجموعه‌ی صفرهایِ اشتراک خواهند بود. بنابراین: V(I) ∪ V(J) ⊆ V(I ∩ J).
• بخش دوم (برهان خلف): فرض کنید نقطه‌ای چون p در V(I ∩ J) باشد ولی در اجتماعِ آنها نباشد (یعنی p عضو V(I) نباشد و عضو V(J) هم نباشد).

  
  پس چندجمله‌ایِ f در I و چندجمله‌ایِ g در J وجود دارد به طوری که f(p) ≠ 0 و g(p) ≠ 0.

  
  حاصلضربِ fg در I · J (و در نتیجه در I ∩ J) قرار دارد. اما (fg)(p) = f(p)g(p) ≠ 0 که این تناقض است با فرضِ اینکه p عضوِ V(I ∩ J) است. پس فرض خلف باطل است و برابری اثبات می‌شود.

جامعِ قوانین و روابط جبری-هندسی