۱. میدانِ K و فضایِ آفین (برگِ ۲۲)

در آغاز، میدانی چون اعداد حقیقی (R) یا اعداد مختلط (C) در نظر می‌گیریم. فضایِ آفین n-بعدی بر رویِ K چنین تعریف می‌شود:

Aⁿ(K) = Kⁿ

یعنی مجموعه‌ی تمام n-تایی‌هایِ مرتب از عناصرِ میدان:

Aⁿ(K) = { (a₁, a₂, ..., a_n) : a_i عضوِ K }

پس A¹(K) خطِ آفین است، A²(K) صفحه‌ی آفین، و A³(K) فضایِ آفینِ سه‌بعدی. در آغاز، این فضا تنها مجموعه‌ای از نقاط است؛ هنوز نه متری دارد، نه ساختارِ برداریِ تحمیل‌شده.

۲. چندجمله‌ای و نقطه‌ی صفر (برگِ ۲۳)

حلقه‌ی چندجمله‌ای‌هایِ n متغیره بر رویِ K چنین نوشته می‌شود:

K[x₁, x₂, ..., x_n]

هر عضوِ آن، چندجمله‌ای‌ای مانندِ P(x,y) = x² + y² − 1 است. اگر نقطه‌ای چون a = (a₁, ..., a_n) داشته باشیم، مقدارِ چندجمله‌ای را با جای‌گذاری به دست می‌آوریم: P(a) = P(a₁, ..., a_n).

اگر P(a) = 0 باشد، می‌گوییم a یک ریشه یا صفر از P است. مجموعه‌ی تمامِ صفرها را چنین نمایش می‌دهیم:

V(P) = { a عضوِ Aⁿ(K) : P(a) = 0 }

این تعریف، پلِ میانِ جبر و هندسه است: چندجمله‌ای شیءِ جبری است، و مجموعه‌ی صفرهایِ آن شیءِ هندسی.

۳. ابررویه‌ی جبری (برگِ ۲۴)

اگر P چندجمله‌ایِ ناصفر در n متغیر باشد، مجموعه‌ی V(P) را یک ابررویه‌ی جبری (Hypersurface) می‌نامند. در حالتِ دو متغیره، این مجموعه معمولاً یک منحنیِ جبری است.

مثالِ نخست: دایره

برایِ P(x,y) = x² + y² − 1 در میدانِ حقیقی داریم:

V_R(P) = { (x,y) : x² + y² = 1 }

که همان دایره‌ی واحد است.

مثالِ دوم: مجموعه‌ی تهی

برایِ P(x,y) = x² + y² + 1 چون x² و y² هر دو نامنفی‌اند، همواره x² + y² + 1 > 0 است؛ پس:

V_R(P) = ∅ (مجموعه‌ی تهی)

اما در میدانِ مختلط، همین معادله نقاطِ بسیار دارد؛ مثلاً با x = i و y = 0 داریم:

i² + 0 + 1 = −1 + 1 = 0

پس (i, 0) عضوِ V_C(P) است. این است درسِ بزرگِ این برگ: نوعِ میدان، شکل و حتی تهی یا ناتهی بودنِ مجموعه‌ی جبری را تعیین می‌کند.

جامعِ احکام و فرمول‌ها

• Aⁿ(K) = Kⁿ : فضایِ آفینِ n-بعدی
• K[x₁, ..., x_n] : حلقه‌ی چندجمله‌ای‌هایِ n متغیره
• V(P) = { a : P(a) = 0 } : مجموعه‌ی صفرهایِ P
• V_R(x² + y² − 1) = دایره‌ی واحد
• V_R(x² + y² + 1) = ∅
• V_C(x² + y² + 1) ≠ ∅

تعمیم: مجموعه‌های صفرِ چندجمله‌ای

مسیرِ طبیعی، تعمیمِ مفهوم به چندین چندجمله‌ای است:

V(P₁, P₂, ..., P_r) = { a : P₁(a) = ... = P_r(a) = 0 }

و همین مفهوم، پایه‌ی تعریفِ مجموعه‌های جبری آفین و سپس توپولوژیِ زاریسکی است — جایی که از توپولوژیِ پیشین به توپولوژیِ نوینی گام می‌نهیم که در آن، مجموعه‌های بسته، همین مجموعه‌های صفرِ چندجمله‌ای‌ها هستند.