ریاضیات

این پوچ‌ها که در ذات، نَفَسِ صفر دارند،

در گنجینهٔ هر ماکسیمال، رازِ دیگر دارند.

هر چه نه در ایدهٔ اول جای گیرد،

دان که در جوهر خود، نیلِ بی‌تکرار دارد.

از افقِ رادیکالِ نیل

در این ایستگاه، از عناصری سخن می‌گوییم که چونان ابرِ گذرا بر صحنهٔ حلقه می‌نشینند: دمی با توانی می‌ایستند، و با توانی دیگر در صفر فنا می‌شوند. اینان را نیل‌پوتنت می‌نامیم.

۱. تعریف رادیکال نیل

عنصرِ

a

در حلقهٔ جابه‌جایی

A

را نیل‌پوتنت خوانیم، اگر عدد طبیعی‌ای چون

n

یافت شود که:

a^n = 0

مجموعهٔ همهٔ این عناصر را رادیکالِ نیل می‌نامیم و با

N(A)

نشان می‌دهیم:

N(A) = { a ∈ A | a^n = 0 برای یک n ∈ N }

۲. رادیکال نیل، خود ایده‌آل است

نخست نشان می‌دهیم

N(A)

ایده‌آل است، یعنی به جمع و به ضرب در اعضای حلقه بسته است.

بسته بودن به جمع: فرض کن

x^n = 0

و

y^m = 0

. توانِ

(n + m - 1)

از

x + y

را با بسط دوجمله‌ای می‌گشاییم:

(x + y)^(n+m-1) = Σ_{i=0}^{n+m-1} C(n+m-1, i) · x^(i) · y^(n+m-1-i)

در هر جمله، اگر توانِ

x

دست‌کم

n

باشد، جمله صفر است؛ و گرنه توانِ

y

دست‌کم

m

خواهد بود و باز جمله صفر می‌شود. پس همهٔ جمله‌ها صفرند و:

(x + y)^(n+m-1) = 0

یعنی حاصلِ جمعِ دو عضو نیل‌پوتنت، باز نیل‌پوتنت است.

بسته بودن به ضرب در حلقه: اگر

x^n = 0

، برای هر

r ∈ A

داریم:

(r·x)^n = r^n · x^n = r^n · 0 = 0

پس

r·x

نیز نیل‌پوتنت است. بنابراین

N(A)

ایده‌آلِ حلقه است.

۳. قضیهٔ بنیادین: اشتراک ایده‌آل‌های اول

قضیه: رادیکال نیل، برابر است با اشتراکِ همهٔ ایده‌آل‌های اولِ حلقه:

N(A) = ∩ { P | P ایده‌آل اول A }

بخش نخست — هر نیل‌پوتنت در همهٔ ایده‌آل‌های اول است:

فرض کن

a^n = 0

و

P

ایده‌آلی اول باشد. چون صفر در

P

است، داریم

a^n ∈ P

. از اول بودنِ

P

، نتیجه می‌شود خودِ

a

در

P

است. پس هر نیل‌پوتنت، در هر ایده‌آل اول می‌نشیند.

بخش دوم — هر که در همگی ایده‌آل‌های اول است، نیل‌پوتنت است:

اگر

a

نیل‌پوتنت نباشد، مجموعهٔ توان‌هایش را در نظر می‌گیریم:

S = { a^k | k ∈ N }

این مجموعه ضربی‌بسته است و با ایده‌آل صفر اشتراکی ندارد (چون اگر

a^k = 0

می‌شد،

a

نیل‌پوتنت بود). پس به یاری لم زورن، ایده‌آلی بیشینه نسبت به «دور ماندن از

S

» می‌سازیم که اثباتاً اول است و

a

را در خود ندارد.

بدین‌سان، عنصری که در هیچ ایده‌آل اولی نباشد و در همهٔ آن‌ها باشد، ناگزیر نیل‌پوتنت است. خوشه‌چینی دو سویهٔ برهان، قضیه را کامل می‌کند.

پیامِ راه: پوچی، از نظرِ ایده‌آل‌های اول نمی‌گُریزد؛

و هر که در همگیِ ایشان جای گرفته، در ذات، پوچ است.

رادیکالِ نیل، آینه‌ی همهٔ فروتنی‌های حلقه است.