ریاضیات

قضیه ۳۲: رابطهٔ اولیه بودن و انتقالی بودن

گزاره: فرض کنید G یک گروهِ اولیهٔ غیربدیهی روی مجموعهٔ Ω باشد. در این صورت G لزوماً روی Ω انتقالی (Transitive) عمل می‌کند.

برهان (به روش برهانِ خلف):

فرض کنیم G انتقالی نباشد. در این صورت مجموعهٔ Ω تحت کنش G به حداقل ۲ مدار تقسیم می‌شود.

• برای هر نقطهٔ α، مدار آن را با α^G نمایش می‌دهیم. چون کنش انتقالی نیست، پس α^G ≠ Ω.
• اگر تمامی مدارها تک‌عضوی باشند، یعنی برای هر g∈G داشته باشیم α^g=α، آنگاه G باید گروه بدیهی باشد که با فرضِ غیربدیهی بودن در تناقض است.
• پس حداقل یک مدار مانند Γ = α^G وجود دارد که بیش از یک عضو دارد (|α^G| > 1).
• نکتهٔ کلیدی: در هر کنش گروهی، هر «مدار» یک بلاک (Block) محسوب می‌شود.
• چون Γ یک مدار است و تمام شرایط بلاک بودن را دارد (تصویرش تحت عناصر گروه یا خودش است یا با خودش اشتراک ندارد)، و از طرفی 1 < |Γ| < |Ω|، پس Γ یک بلاکِ حقیقی (Proper Block) است.
• وجودِ بلاکِ حقیقی با اولیه بودنِ کنش در تناقض است.

نتیجه: فرضِ خلف باطل است و G باید انتقالی باشد.

تعریف کنش وفادار (Faithful Action)

کنشِ گروه G روی مجموعهٔ Ω را وفادار گوییم، هرگاه تنها عنصری از گروه که تمام نقاط مجموعه را ثابت نگه می‌دارد، عنصرِ همانی (Identity) باشد.

g ∈ G , ∀α ∈ Ω : α^g = α ⇒ g = 1

نکتهٔ پایانی تصویر:

اگر N یک زیرگروه نرمالِ غیربدیهی از یک گروه اولیهٔ G باشد، آنگاه N روی Ω انتقالی عمل می‌کند. (این ویژگی در گروه‌های اولیه و به‌ویژه در ساختارهای جابجایی بسیار حائز اهمیت است).