ریاضیات

---

## قضیهٔ اصلی

**گروه G روی مجموعهٔ Ω به‌صورت اولیه عمل می‌کند اگر و تنها اگر تثبیت‌کنندهٔ G_α زیرگروهی ماکسیمال در G باشد.**

---

## فرض آغازین

- G حل‌پذیر است؛ یعنی مشتق‌های پیاپی آن در نهایت به همانی می‌رسند: **G⁽ⁿ⁾ = 1**.
- G به‌صورت **انتقالی** روی Ω عمل می‌کند.
- برای نقطهٔ α ∈ Ω، تثبیت‌کننده برابر است با:
**G_α = { g ∈ G | gα = α }**.

---

## اثبات (⇒): کنش اولیه ⇒ تثبیت‌کننده ماکسیمال

فرض کنید G روی Ω اولیه عمل کند، ولی G_α ماکسیمال نباشد. آنگاه زیرگروهی H وجود دارد به‌طوری‌که:

**G_α < H < G**

مدار α تحت عمل H را در نظر بگیرید:

**Γ = α^H = { α^h | h ∈ H }**

از آنجا که H > G_α، اندازهٔ این مدار برابر است با:

**|Γ| = [H : G_α] > 1**

پس Γ ناتrivials است. همچنین از انتقالی بودن G روی Ω داریم:

**|Ω| = [G : G_α] = [G : H] � [H : G_α] > [H : G_α] = |Γ|**

پس **Γ ⊊ Ω**؛ یعنی Γ یک زیرمجموعهٔ ناتrivials و حقیقی است.

ادعا می‌کنیم Γ یک **بلاک** است. برای این، کافیست نشان دهیم اگر **Γ^g ∩ Γ ≠ ∅**، آنگاه **Γ^g = Γ**.

فرض کنید برای بعضی **h₁, h₂ ∈ H** داشته باشیم:

**(α^h₁)^g = α^h₂**

آنگاه:

**α^{h₁ g h₂-1} = α**

یعنی:

**h₁ g h₂^-1 ∈ G_α**

چون **G_α ≤ H** و **h₁, h₂ ∈ H**، نتیجه می‌شود **g ∈ H**. بنابراین:

**Γ^g = { (α^h)^g | h ∈ H } = { α^hg | h ∈ H } = Γ**

پس Γ یک بلاک ناتrivials و حقیقی است، که با اولیه بودن G در تناقض است. بنابراین **G_α ماکسیمال است**.

---

## اثبات (⇐): تثبیت‌کننده ماکسیمال ⇒ کنش اولیه

فرض کنید G_α ماکسیمال باشد، ولی G روی Ω اولیه نباشد. آنگاه بلاکی X ⊊ Ω با **|X| > 1** وجود دارد. با توجه به انتقالی بودن، می‌توان فرض کرد **α ∈ X**.

تثبیت‌کنندهٔ مجموعه‌ای X را در نظر بگیرید:

**H = { g ∈ G | X^g = X }**

این H یک زیرگروه از G است.

اگر **g ∈ G_α**، آنگاه **α^g = α**. از آنجا که **α ∈ X**، داریم:

**α ∈ X ∩ X^g ≠ ∅**

بنابر بر تعریف بلاک، **X^g = X**، پس **g ∈ H**. این نشان می‌دهد:

**G_α ≤ H**

از سوی دیگر، تثبیت‌کنندهٔ α در H برابر تثبیت‌کنندهٔ α در G است؛ یعنی **H_α = G_α**. پس:

**|X| = |α^H| = [H : H_α] = [H : G_α]**

چون **|X| > 1**، نتیجه می‌شود **G_α < H**.

همچنین **H < G**؛ زیرا اگر H = G، آنگاه برای هر g ∈ G داریم X^g = X، و از انتقالی بودن نتیجه می‌شود **X = Ω**، در حالی که X بلاک حقیقی بود.

پس داریم:

**G_α < H < G**

که با ماکسیمال بودن G_α در تناقض است. بنابراین **G روی Ω اولیه عمل می‌کند**.

---

## ملاحظهٔ تکمیلی

در تصاویر بیان شده است که اگر برای هر **β ∈ Ω** داشته باشیم **G_β ≤ H**، آنگاه **H ⊲ G**.

دلیل: برای هر g ∈ G داریم **G_α^g = G_α^g = G_β ≤ H**. پس تمام مزدوج‌های G_α در H قرار دارند؛ یعنی G_α ≤ H^g-1 برای هر g، که نشان‌دهندهٔ نرمال بودن H است.

---