ریاضیات

قضیهٔ ارتباط کنش اولیه با تثبیت‌کنندهٔ ماکسیمال

قضیهٔ اصلی: گروه G روی مجموعهٔ Ω به‌صورت اولیه عمل می‌کند اگر و تنها اگر تثبیت‌کنندهٔ G_α زیرگروهی ماکسیمال در G باشد.

فرض آغازین

G حل‌پذیر است؛ یعنی مشتق‌های پیاپی آن در نهایت به همانی می‌رسند: G⁽ⁿ⁾=1.

G به‌صورت انتقالی روی Ω عمل می‌کند. برای نقطهٔ α∈Ω، تثبیت‌کننده برابر است با G_α={g∈G | gα=α}.

اثبات (راست): کنش اولیه ⇒ تثبیت‌کننده ماکسیمال

فرض کنید G روی Ω اولیه عمل کند، ولی G_α ماکسیمال نباشد. آنگاه زیرگروهی H وجود دارد به‌طوری‌که G_α<H<G.

مدار α تحت H را در نظر بگیرید: Γ=α^H={α^h | h∈H}.

از آنجا که H>G_α، اندازهٔ این مدار برابر است با |Γ|=[H:G_α]>1؛ پس Γ ناتrivials است. همچنین از انتقالی بودن G روی Ω داریم |Ω|=[G:G_α]=[G:H]·[H:G_α]>[H:G_α]=|Γ|؛ پس Γ⊂Ω.

ادعا می‌کنیم Γ یک بلاک است. برای این، کافیست نشان دهیم اگر Γ^g∩Γ≠∅، آنگاه Γ^g=Γ.

فرض کنید برای بعضی h₁,h₂∈H داشته باشیم (α^h₁)^g=α^h₂. آنگاه α^h₁gh₂-1=α؛ یعنی h₁gh₂^-1∈G_α.

چون G_α≤H و h₁,h₂∈H، نتیجه می‌شود g∈H. بنابراین Γ^g={(α^h)^g | h∈H}={α^hg | h∈H}=Γ.

پس Γ یک بلاک ناتrivials و حقیقی است، که با اولیه بودن G در تناقض است. بنابراین G_α ماکسیمال است.

اثبات (چپ): تثبیت‌کننده ماکسیمال ⇒ کنش اولیه

فرض کنید G_α ماکسیمال باشد، ولی G روی Ω اولیه نباشد. آنگاه بلاکی X⊂Ω با |X|>1 وجود دارد. با توجه به انتقالی بودن، می‌توان فرض کرد α∈X.

تثبیت‌کنندهٔ مجموعه‌ای X را در نظر بگیرید: H={g∈G | X^g=X}. این H یک زیرگروه از G است.

اگر g∈G_α، آنگاه α^g=α. از آنجا که α∈X، داریم α∈X∩X^g≠∅. بنابر تعریف بلاک، X^g=X، پس g∈H. این نشان می‌دهد G_α≤H.

از سوی دیگر، تثبیت‌کنندهٔ α در H برابر تثبیت‌کنندهٔ α در G است؛ یعنی H_α=G_α. پس |X|=|α^H|=[H:H_α]=[H:G_α].

چون |X|>1، نتیجه می‌شود G_α<H.

همچنین H<G؛ زیرا اگر H=G، آنگاه برای هر g∈G داریم X^g=X، و از انتقالی بودن نتیجه می‌شود X=Ω، در حالی که X بلاک حقیقی بود.

پس داریم G_α<H<G، که با ماکسیمال بودن G_α در تناقض است. بنابراین G روی Ω اولیه عمل می‌کند.

ملاحظهٔ تکمیلی

در تصاویر بیان شده است که اگر برای هر β∈Ω داشته باشیم G_β≤H، آنگاه H⊴G.

دلیل: برای هر g∈G داریم G_α^g=G_α^g=G_β≤H. پس تمام مزدوج‌های G_α در H قرار دارند؛ یعنی G_α≤H^g-1 برای هر g، که نشان‌دهندهٔ نرمال بودن H است.

خلاصه آنکه دو طرف این قضیه، یک‌دیگر را به‌طور متقابل تضمین می‌کنند و پلی است میان ساختار زیرگروه‌های ماکسیمال و پخشی بدون بلاک در کنش‌های گروهی.