مشتق گروه و حلپذیری
پس از بررسیِ کنشِ گروه بر کلاسهای چپ، هستهٔ نرمال، و نمونهٔ مهمِ A4، اکنون نوبت به یکی از مفاهیم بنیادیِ نظریهٔ گروهها میرسد: مشتقِ گروه و نسبتِ آن با حلپذیری.
۱) تعریفِ مشتقِ گروه
برای دو عضوِ x,y ∈ G، جابهجاگرِ آنها را چنین تعریف میکنیم:
[x,y] = x-1y-1xy
زیرگروهی که به وسیلهٔ همهٔ این جابهجاگرها تولید میشود، مشتقِ گروه یا زیرگروهِ مشتق نام دارد و با G' یا [G,G] نمایش داده میشود:
G' = [G,G] = < [x,y] | x,y ∈ G >
این زیرگروه، اندازهٔ «ناجابهجایی» در گروه را میسنجد. هرچه مشتقِ گروه کوچکتر باشد، گروه به آبلی بودن نزدیکتر است.
نکته: اگر G آبلی باشد، آنگاه همهٔ جابهجاگرها برابرِ همانیاند، پس G' = 1. برعکس، اگر G' = 1، آنگاه G آبلی است.
۲) خاصیتِ بنیادیِ مشتق
زیرگروهِ مشتق همیشه در G نرمال است:
G' ⊴ G
و از همه مهمتر، خارجقسمتِ G/G' یک گروه آبلی است. در واقع، G' کوچکترین زیرگروهِ نرمالی است که با خارجقسمت گرفتن نسبت به آن، گروه آبلی میشود.
به بیان دیگر، هرگاه N ⊴ G و G/N آبلی باشد، حتماً:
G' ≤ N
۳) زنجیرهٔ مشتق و تعریفِ حلپذیری
اکنون میتوانیم مشتق را تکرار کنیم:
G(0) = G,
G(1) = G',
G(2) = (G')', \dots
این دنباله را سلسلهٔ مشتق مینامند. اگر پس از تعداد متناهی گام به زیرگروهِ همانی برسیم، یعنی عددی طبیعیِ n وجود داشته باشد بهطوریکه:
G(n) = 1
آنگاه میگوییم گروهِ G حلپذیر است.
پس حلپذیری یعنی گروه را بتوان با گرفتنِ مشتقهای پیاپی، مرحلهبهمرحله به ساختارهای آبلی و سرانجام به گروهِ بدیهی فروکاست.
۴) مثالهای ساده
- هر گروه آبلی حلپذیر است، زیرا G' = 1.
- گروهِ S3 حلپذیر است، چون S3' = A3 و A3 آبلی است.
- گروهِ A4 نیز حلپذیر است، زیرا دارای زیرگروهِ نرمالِ V است و خارجقسمتِ آن چرخهایِ مرتبهٔ ۳ میشود.
نتیجههای پایهای دربارهٔ گروههای مرتبهٔ اول
اکنون به یک نتیجهٔ بسیار بنیادی میرسیم. اگر مرتبهٔ گروه یک عددِ اولِ p باشد، ساختارِ گروه بهکلی روشن است.
قضیهٔ اصلی
اگر |G| = p و p عددی اول باشد، آنگاه G چرخهای است. در نتیجه:
G ≅ Cp
دلیل این مطلب ساده و زیباست. هر عضوِ نابدیهیِ G مولدِ زیرگروهی است که مرتبهاش باید مقسومعلیهِ p باشد. چون p اول است، مرتبهٔ این زیرگروه فقط میتواند 1 یا p باشد. پس هر عضوِ نابدیهی، کلِ گروه را تولید میکند.
نتیجههای فوری
- هر گروه با مرتبهٔ اول، آبلی است.
- هر گروه با مرتبهٔ اول، ساده است؛ زیرا هیچ زیرگروهِ نابدیهیِ سرهای ندارد.
- هر دو گروه با مرتبهٔ اولِ یکسان، با هم ایزومرفاند.
- پس تا ایزومرفی، تنها یک گروه با مرتبهٔ p وجود دارد، و آن همان Cp است.
جمعبندیِ مفهومی: مشتقِ گروه، میزانِ فاصلهٔ گروه از آبلی بودن را آشکار میکند؛ حلپذیری نشان میدهد که آیا این فاصله را میتوان در تعداد متناهی گام از میان برداشت یا نه؛ و قضیهٔ گروههای مرتبهٔ اول، نمونهای روشن از سادهترین ساختارهای ممکن را پیشِ چشم میگذارد.
ادامهٔ مباحث نظریهٔ گروهها: مشتق گروه، حلپذیری، و ساختار گروههای با مرتبهٔ اول
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.