ریاضیات

کنش روی کلاس‌های چپ، هستهٔ نرمال، و مثال A4/V

در این سه بند، ایدهٔ اصلی این است که از یک کنش طبیعیِ گروه روی کلاس‌های چپ، به یک همریختی به گروه متقارن برسیم؛ سپس هستهٔ این همریختی را بشناسیم و در پایان، یک نمونهٔ روشن از این سازوکار را در A₄ ببینیم.

۱) کنش گروه بر کلاس‌های چپ

فرض کنید H ≤ G و شاخص آن [G:H] = r باشد. آنگاه مجموعهٔ کلاس‌های چپِ H در G برابر است با G/H و این مجموعه دقیقاً r عضو دارد.

اکنون برای هر g, x ∈ G تعریف می‌کنیم:

این تعریف، یک کنش درست از G بر روی G/H می‌سازد. در نتیجه، هر عضو از G یک جایگشت از مجموعهٔ r عضویِ G/H به دست می‌دهد.

پس یک همریختی طبیعی داریم:

که در آن S_r گروه متقارنِ درجهٔ r است.

۲) هستهٔ نرمال یا core

هستهٔ این همریختی دقیقاً همان زیرگروهی است که همهٔ کلاس‌های چپ را ثابت می‌گذارد. این زیرگروه را با H_G نشان می‌دهند و به آن هستهٔ نرمالِ H در G یا core می‌گویند:

این تعریف دو معنا را هم‌زمان حمل می‌کند: اول آنکه H_G &trianglelefteq G است، و دوم اینکه H_G ≤ H. در واقع، H_G بزرگ‌ترین زیرگروه نرمالِ G است که در H جا می‌گیرد.

از اینجا روشن می‌شود که نگاه به کلاس‌های چپ، راهی برای دیدنِ گروه در آینهٔ جایگشت‌هاست.

۳) مثالِ A₄ و زیرگروهِ V

اکنون به نمونهٔ مهمِ گروه متناوبِ چهار‌تایی می‌رسیم. زیرگروهِ کلاین در A₄ برابر است با:

این زیرگروه در A₄ نرمال است و مرتبهٔ آن 4 می‌باشد. چون |A₄| = 12، بنابراین خارج‌قسمتِ آن سه‌تایی است:

این نتیجه از این جهت مهم است که یک گروهِ ظاهراً پیچیده، پس از فاکتورگیری از یک زیرگروهِ نرمالِ مناسب، به یک گروه چرخه‌ایِ ساده فروکاسته می‌شود.

همین الگو در بسیاری از استدلال‌های نظریهٔ گروه به کار می‌رود: ابتدا کنش را می‌سازیم، سپس هسته را می‌گیریم، و بعد با خارج‌قسمت، ساختار را روشن‌تر می‌بینیم.

جمع‌بندی: این سه بند، پلِ میانِ کنش‌های گروهی، نمایش‌های جایگشتی، و بحثِ حل‌پذیری‌اند. گروه با اثرش بر کلاس‌های چپ به داخلِ یک گروه متقارن منتقل می‌شود، هستهٔ این انتقال بخشی از ساختار درونی گروه را نشان می‌دهد، و مثال A₄/V نشان می‌دهد که چگونه فاکتورگیری از یک نرمالِ مناسب می‌تواند گروه را به یک ساختار بسیار ساده‌تر برساند.