ریاضیات

۶) جمع‌بندی قضیه و مرزِ نتیجه

اکنون رشتهٔ استدلال را یک‌جا می‌بینیم.

قضیه

نتیجه: اگر

|G|=p2q

باشد، دست‌کم یکی از زیرگروه‌های سیلوی p یا q نرمال است؛ مگر آن‌که

{p,q}={2,3}

و

|G|=12

باشد.

برهان فشرده

از سیلو:

np∈{1,q} و nq∈{1,p,p^2}.

اگر یکی از این دو عدد ۱ باشد، سیلوی متناظر نرمال است.

حالت (q,p) متناقض است.

حالت (q,p^2) فقط به p=2,q=3 می‌انجامد.

تذکر پایانی

استثنای مرتبهٔ ۱۲ به این معنا نیست که در هیچ گروه ۱۲ عضوی زیرگروه نرمال وجود ندارد؛ فقط نتیجهٔ نرمال‌بودن از همین شمارشِ ابتدایی به‌تنهایی به دست نمی‌آید. برای شناخت گروه مشخص، باید از داده‌های بیشتری چون ارائهٔ گروه، زیرگروه‌ها یا کنش‌های آن بهره گرفت.

مجموعهٔ قضایای سیلو برای گروه‌های با مرتبهٔ p^2q