ریاضیات

۱) صورت مسئله و شمارش زیرگروه‌های سیلو

فرض کنید G گروهی متناهی با مرتبهٔ |G| = p2q باشد؛ در این‌جا p و q دو عدد اولِ متمایزند. تعداد زیرگروه‌های سیلوی p و q را به‌ترتیب با np و nq نشان می‌دهیم.

قضایای سیلو

زیرگروه سیلوی p مرتبهٔ p2 و زیرگروه سیلوی q مرتبهٔ q دارد. پس قضایای سیلو می‌دهند:

np | q و np ≡ 1 (mod p)

nq | p2 و nq ≡ 1 (mod q)

مقادیر ممکن

چون q اول است، مقسوم‌علیه‌هایش فقط ۱ و q هستند. همچنین مقسوم‌علیه‌های p2 عبارت‌اند از ۱، p و p2.

نتیجه: np ∈ {1,q} و nq ∈ {1,p,p2}.

مجموعهٔ قضایای سیلو برای گروه‌های با مرتبهٔ p2q