توسط علی رضا نقش نیلچی
| شنبه بیست و چهارم مرداد ۱۴۰۵ | 1:20
مسئله سوم: محاسبه گروه بنیادی S1
شرح مسئله: نگاشت پوششی p: R → S1 را تحلیل کرده و نشان دهید چرا گروه بنیادی دایره با Z ایزومورف است.
نکته کلیدی: فضای پوششی R برای دایره، یک فضا با گروه بنیادی بدیهی (Simple Connected) است. در چنین حالتی، گروه بنیادی فضای پایین (دایره) با «تار» (Fiber) روی نقطه پایه برابر است.
فرآیند تحلیل:
نگاشت را چنین در نظر بگیرید: p(t) = (cos 2πt, sin 2πt).
اگر نقطه پایه را در دایره b0 = (1, 0) فرض کنیم، تمام نقاطی از خط حقیقی که به این نقطه مینگارند عبارتند از:
p-1(b0) = { n | n ∈ Z }
این یعنی هر بار که روی دایره یک دور کامل میزنیم، در فضای پوششی (خط حقیقی) به اندازه یک واحد صحیح جابجا میشویم. این تناظر یکبهیک بین «تعداد دورها» و «اعداد صحیح»، ساختار گروهی π1(S1) ≅ Z را تبیین میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.