ریاضیات

قضیه: اجتماع مجموعه‌های همبند مسیر

فرض کنید

X = ∪_{i ∈ I} U_i

و هر مجموعه‌ی

U_i

همبند مسیر باشد. اگر

∩_{i ∈ I} U_i ≠ ∅

باشد، آنگاه X همبند مسیر است.

اثبات:

نقطه‌ای مانند a را از اشتراک همه‌ی مجموعه‌ها انتخاب می‌کنیم؛ یعنی:

a ∈ ∩_{i ∈ I} U_i

دو نقطه‌ی دلخواه x و y را از X در نظر بگیرید. چون

X = ∪_{i ∈ I} U_i،

اندیس‌هایی مانند j و k وجود دارند به‌طوری‌که:

x ∈ U_j

y ∈ U_k

از آنجا که a در همه‌ی U_iها قرار دارد، به‌ویژه داریم:

a ∈ U_j ∩ U_k

اکنون چون U_j همبند مسیر است، مسیری از x به a درون

U_j وجود دارد. همچنین، چون U_k همبند مسیر است، مسیری از

a به y درون U_k وجود دارد.

با چسباندن این دو مسیر، مسیری پیوسته از x به y درون X به دست می‌آید. پس

X

همبند مسیر است.