ریاضیات

مجموعه‌های محدب و انقباض‌پذیری

در مبحث توپولوژی جبری، یکی از نتایج زیبا این است که هر مجموعه محدب در فضای اقلیدسی، انقباض‌پذیر است. این بدان معناست که چنین مجموعه‌ای از دیدگاه «هموتوپی»، هیچ حفره‌ای ندارد و با یک تک‌نقطه هم‌ارز است.

تعریف نگاشت‌ها

فرض کنید X زیرمجموعه‌ای محدب از فضای Rⁿ باشد و نقطه x₀ عضوی از آن باشد. برای اثبات هم‌ارزی هموتوپی، دو نگاشت زیر را تعریف می‌کنیم:

• نگاشت f که X را به فضای تک‌نقطه‌ای {x₀} می‌برد: f(x) = x₀
• نگاشت g که فضای تک‌نقطه‌ای {x₀} را به X می‌برد: g(x₀) = x₀

تحلیل ترکیب نگاشت‌ها

برای هم‌ارزی هموتوپی، باید دو شرط را بررسی کنیم:

۱. شرط اول: ترکیب f ∘ g نگاشت همانی بر روی تک‌نقطه است (که بدیهی است).

۲. شرط دوم: ترکیب g ∘ f باید با نگاشت همانی بر روی X هموتوپ باشد.

اثبات هموتوپی

برای شرط دوم، هموتوپی H را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

H(x, t) = (1 - t)x + t(x₀)

در این رابطه، t بین صفر و یک تغییر می‌کند. از آنجا که مجموعه X طبق فرض محدب است، پاره‌خطِ اتصال‌دهنده هر نقطه x به x₀ تماماً درون X قرار دارد. بنابراین نگاشت H خوش‌تعریف است.

نتیجه اینکه X با نقطه x₀ هم‌ارز هموتوپی است. بدین ترتیب ثابت کردیم که هر مجموعه محدب، انقباض‌پذیر است.