مثال: انقباضپذیر بودن مجموعههای محدب
فرض کنید
X \subseteq \mathbb{R}^n
مجموعهای محدب باشد و
x0 \in X.
میخواهیم نشان دهیم
X
با فضای تکنقطهای
\{x0\}
همارز هموتوپی است.
تعریف نگاشتها
دو نگاشت زیر را در نظر میگیریم:
f : X → {x0}
f(x) = x0
g : {x0} → X
g(x0) = x0
بررسی ترکیبها
برای ترکیب اول داریم:
(f ∘ g)(x0) = f(g(x0)) = f(x0) = x0
پس:
f ∘ g = id{x0}
برای ترکیب دوم نیز داریم:
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x0) = x0
بنابراین
g \circ f
همان نگاشت ثابت از
X
به نقطهی
x0
است. اکنون باید نشان دهیم این نگاشت با همانیِ
X
هموتوپ است.
تعریف هموتوپی
H : X × [0,1] → X
H(x,t) = (1-t)x + tx0
چون
X
محدب است، برای هر
x \in X
و هر
t \in [0,1]،
نقطهی
(1-t)x + tx0
همچنان در
X
قرار دارد. پس
H
خوشتعریف و پیوسته است.
همچنین:
در
t=0
داریم
H(x,0)=x
که همان
idX
است.
در
t=1
داریم
H(x,1)=x0
که همان نگاشت ثابت
g \circ f
است.
پس:
g ∘ f ≃ idX
در نتیجه،
X ≃ \{x0\}
و بنابراین هر مجموعهی محدب، انقباضپذیر است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.