نگاشتهای پوششی و انقباضپذیری مجموعههای محدب
۱) ویژگیهای نگاشت پوششی (Covering Map)
فرض کنید f: X → Y یک نگاشت پوششی باشد. اگر X فشرده و Y هاسدورف باشد، آنگاه برای هر نقطه y ∈ Y، مجموعهٔ پیشتصویر یا تارِ f -1(y) مجموعهای متناهی خواهد بود.
همچنین میدانیم که در یک نگاشت پوششی، هر نقطه دارای همسایگی باز است که پیشتصویر آن به صورت اجتماع مجزای بازهایی در X است که هر کدام با همسایگی مذکور همارز (Homeomorphic) هستند.
۲) انقباضپذیری مجموعههای محدب
سؤال: اگر A ⊆ ℝn مجموعهای محدب (Convex) باشد، ثابت کنید A انقباضپذیر است.
اثبات: برای اثبات انقباضپذیری، باید نشان دهیم که مجموعه با یک نقطه همارز هموتوپی است. فرض کنید x0 ∈ A یک نقطه دلخواه باشد. نگاشت همانی id: A → A را در نظر بگیرید. هموتوپی زیر را تعریف میکنیم:
H: A × [0, 1] → A
H(x, t) = (1 - t)x + tx0
چون A محدب است، برای هر t ∈ [0, 1]، نقطهٔ حاصل از ترکیب خطی فوق نیز در A باقی میماند. همچنین داریم:
- در زمان t = 0: داریم H(x, 0) = x (نگاشت همانی).
- در زمان t = 1: داریم H(x, 1) = x0 (نگاشت ثابت روی نقطه x0).
بنابراین نگاشت همانی با نگاشت ثابت هموتوپ است و نتیجه میگیریم:
A ≃ {x0}
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.