اثباتِ همارزی بودنِ رابطهٔ هموتوپی
آیا رابطهٔ همارزی هموتوپی یک رابطهٔ همارزی (Equivalence Relation) است؟ برای این منظور باید سه خاصیتِ بازتابی، متقارن و متعدی را بررسی کنیم.
۱) خاصیتِ بازتابی (Reflexivity)
میخواهیم نشان دهیم هر فضای X با خودش همارز است (X ≃ X).
کافی است نگاشتِ همانی f = idX را در نظر بگیریم. در این صورت:
f ∘ f = idX ∘ idX = idX ≃ idX
۲) خاصیتِ متقارن (Symmetry)
اگر X ≃ Y باشد، طبق تعریف نگاشتهای f: X → Y و g: Y → X وجود دارند. با تعویض جای این دو نگاشت، شرطِ Y ≃ X نیز برقرار میشود.
۳) خاصیتِ متعدی (Transitivity)
فرض کنید X ≃ Y و Y ≃ Z باشد. پس نگاشتهای زیر را داریم:
- f: X → Y , g: Y → X (for X ≃ Y)
- m: Y → Z , n: Z → Y (for Y ≃ Z)
حال نگاشتهای ترکیبِ h = m ∘ f و k = g ∘ n را تعریف میکنیم. بررسی میکنیم:
h ∘ k = (m ∘ f) ∘ (g ∘ n) = m ∘ (f ∘ g) ∘ n
≃ m ∘ idY ∘ n = m ∘ n ≃ idZ
به همین ترتیب برای ترکیبِ دیگر داریم:
k ∘ h = (g ∘ n) ∘ (m ∘ f) = g ∘ (n ∘ m) ∘ f
≃ g ∘ idY ∘ f = g ∘ f ≃ idX
بنابراین X ≃ Z و رابطهٔ همارزی هموتوپی، یک رابطهٔ همارزی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.