دایره، دیسک و مرزِ یک زیرمجموعه
در صفحهٔ پیش رو، دو فضای بنیادیِ هندسی را معرفی میکنیم: دایره و دیسکِ بسته.
این دو فضا در مباحثِ توپولوژی، بهویژه در بررسیِ پیوستگی، هموتوپی و قضایای
نقطهٔ ثابت، نقشی اساسی دارند.
۱. دایرهٔ واحد
دایرهٔ واحد در صفحهٔ اقلیدسی، مجموعهٔ تمامِ نقاطی است که فاصلهشان از مبدأ
برابرِ یک باشد. آن را با
S1
نمایش میدهیم:
S1 = { x ∈ ℝ2 | ||x|| = 1 }
اگر
x = (x1,x2)
باشد، شرطِ تعلقِ آن به دایرهٔ واحد چنین نوشته میشود:
x12 + x22 = 1
۲. دیسکِ بسته
دیسکِ بسته، همهٔ نقاطِ درونِ دایرهٔ واحد و نیز خودِ نقاطِ دایره را دربرمیگیرد.
این فضا را با
B2
نشان میدهیم:
B2 = { x ∈ ℝ2 | ||x|| ≤ 1 }
به زبان مختصات، این تعریف معادل است با:
B2 = { (x1,x2) ∈ ℝ2 | x12 + x22 ≤ 1 }
۳. مرزِ یک مجموعه
فرض کنید
A ⊆ X
زیرمجموعهای از فضای توپولوژیکِ
X
باشد. نقطهٔ
x ∈ X
را نقطهای از مرزِ
A
مینامیم، هرگاه هر همسایگیِ بازِ آن نقطه، هم با
A
و هم با مکملِ آن اشتراک داشته باشد.
x ∈ ∂A ⇔ for every open neighborhood U of x:
U ∩ A ≠ ∅ and U ∩ (X \ A) ≠ ∅
مجموعهٔ همهٔ این نقاط را مرزِ
A
مینامیم و با نمادِ
∂A
نمایش میدهیم.
در موردِ دیسکِ بستهٔ واحد، مرز دقیقاً همان دایرهٔ واحد است:
∂B2 = S1
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.