رترکشن تغییرشکلی (Deformation Retraction)
اگر یک نگاشتِ رترکشنِ
r : X → A
چنان باشد که افزون بر شرطِ
r ∘ i = idA،
شرطِ
i ∘ r ≃ idX
نیز برقرار باشد (یعنی ترکیبِ شمول و رترکشن با نگاشتِ همانیِ فضای کل هموتوپ باشد)، آنگاه به آن رترکشنِ تغییرشکلی میگوییم.
مثال کلیدی: فضای اقلیدسیِ سوراخشده
فضایِ
ℝn+1 \ {0}
را بر کرهٔ واحدِ
Sn
تصویر میکنیم:
r : ℝn+1 \ {0} → Sn
x ↦ x / ||x||
برای نمایشِ رترکشنِ تغییرشکلی، هموتوپیِ
H
را به صورت زیر تعریف میکنیم:
H(x,t) = (1 - t)x + t(x / ||x||)
این نگاشت همواره در فضایِ
ℝn+1 \ {0}
باقی میماند (هرگز صفر نمیشود)، زیرا ترکیبِ محدبِ یک نقطه و تصویرِ آن رویِ کره است. در نتیجه:
- H(x,0) = x (شروع از فضای کل)
- H(x,1) = x / ||x|| (اتمام بر روی کره)
- برای هر
a ∈ Sn
داریم:
H(a,t) = a (نقاطِ کره در حین تغییر شکل ثابت میمانند).
نتیجهگیری جبری
از آنجا که
ℝn+1 \ {0}
و
Sn
همارزِ هموتوپی هستند
(ℝn+1 \ {0} ≃ Sn)،
گروههای هموتوپیِ آنها یکسان است:
πk(ℝn+1 \ {0}) ≅ πk(Sn)
این نتیجه برای فضایِ
ℝ2 \ {0}
(یعنی
n=1)
به ما میگوید گروهِ بنیادی یکریخت با
ℤ
است، اما برای
n ≥ 2،
این فضا همبندِ ساده
(π1 = 0)
است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.