تحلیلِ نمودارهایِ تعویضپذیر، تحدب و همریختیِ گروههای بنیادی
در این بخش از توپولوژیِ جبری، به بررسیِ رفتارِ نگاشتها بر روی مسیرها، اثرِ مجموعههای محدب در فضا (مانندِ Rn) بر گروه بنیادی، و چگونگیِ القای همریختی میان گروههای بنیادی به واسطهٔ یک نگاشت پیوسته میپردازیم.
۱. تحدب و همارزیِ مسیرها
اگر زیرمجموعهای چون X از فضایِ Rn، مجموعهای محدب باشد، آنگاه هر جفت از مسیرهای درونِ آن با یکدیگر همارز (همتوپ) هستند. در نتیجه گروه بنیادیِ چنین فضایی بدیهی است. اگر دو مسیرِ f و g در یک فضای محدب مفروض باشند، داریم:
f ≃ g ⇒ [f] = [g] = ex₀
در اینجا ex₀ نمادِ مسیرِ ثابت در نقطهٔ پایه است. اعمالِ نگاشتِ پیوستهٔ ψ بر این دو مسیر، مسیرهایِ ψ ∘ f و ψ ∘ g را تولید میکند که آنها نیز به همین ترتیب همارزند.
ψ ∘ f ≃ ψ ∘ g
۲. تغییرِ نقطهٔ پایه در گروه بنیادی
اگر X همبند باشد و x₀ و x₁ دو نقطه در آن، آنگاه گروههای بنیادیِ فضا در این دو نقطه با هم یکریختاند:
π₁(X, x₀) ≅ π₁(X, x₁)
این یکریختی به کمکِ مسیرِ σ (از x₀ به x₁) تعریف میشود که کلاسِ [f] را به کلاسِ مسیرِ مزدوج میبرد:
ψ: π₁(X, x₀) → π₁(X, x₁) , [f] ↦ [σ⁻¹ · f · σ]
۳. القای همریختی به واسطهٔ نگاشت پیوسته
نگاشتِ پیوستهٔ ψ: X → Y یک همریختی میان گروههای بنیادی القا میکند:
ψ*: π₁(X, x₀) → π₁(Y, ψ(x₀)) , [f] ↦ [ψ ∘ f]
این ساختار خوشتعریف بودنِ ψ* را تضمین میکند و نشان میدهد که توپولوژی، آیینهای است برای بازتاب ساختارهای جبری.
ریاضیات، زبانِ نظمِ پوشیده در دلِ پدیدههاست.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.