قضیهٔ مدار ـ پایاساز
اگر G روی Y عمل کند و
y ∈ Y
باشد، آنگاه همارزی زیر برقرار است:
|G(y)| = [G : Gy] = |G / Gy|
یعنی تعداد اعضای مدارِ نقطهٔ
y
برابر است با شاخصِ زیرگروه پایاسازِ آن نقطه در گروه
G.
تعریف: عمل آزاد گروه
میگوییم عمل گروه
G
روی مجموعهٔ
Y
آزاد است، هرگاه برای هر نقطهٔ
y ∈ Y
داشته باشیم:
Gy = { e }
به بیان معادل، اگر یک عضو گروه نقطهای را ثابت نگه دارد، آن عضو ناچار عضو همانی است:
g.y = y => g = e
یا بهصورت دیگر:
g ≠ e => g.y ≠ y
برای هر
y ∈ Y
و هر
g ∈ G.
تعریف: نگاشتِ G-فضاها
فرض کنید
Y1
و
Y2
دو
G-فضا باشند. یک نگاشت مانند
ψ
را یک نگاشتِ G-فضاها یا نگاشت هموردا مینامیم، هرگاه:
ψ : Y1 → Y2
و برای هر
y1 ∈ Y1
و هر
g ∈ G
رابطهٔ زیر برقرار باشد:
ψ(g.y1) = g.ψ(y1)
یعنی نگاشت
ψ
با عمل گروه
G
سازگار است: نخست عمل کردنِ
g
و سپس اعمال
ψ
همان نتیجهای را میدهد که ابتدا
ψ
را اعمال کنیم و سپس
g
عمل کند.
تعریف: همریختیِ G-فضاها
اگر نگاشت
ψ : Y1 → Y2
یک نگاشتِ دوسویی باشد و شرط هموردایی را نیز داشته باشد، آن را
همریختیِ G-فضاها مینامیم.
ψ(g.y1) = g.ψ(y1)
در این صورت میگوییم دو فضای
Y1
و
Y2
بهعنوان
G-فضا با هم همریختاند و مینویسیم:
Y1 ≅G Y2
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.