همسایگیهای مناسب و محدودسازی نگاشتها
در این بخش، برای یک نقطه مثل x در فضای توپولوژیک، همسایگیهای مناسبی انتخاب میکنیم
تا رفتار نگاشت مورد نظر در اطراف آن نقطه بررسی شود.
۱) انتخاب همسایگیها
فرض کنید U1 و U2 دو همسایگی باز از x باشند. اشتراک آنها را با W نشان میدهیم:
W = U1 ∩ U2
چون اشتراک دو مجموعه باز، باز است، پس W نیز یک همسایگی باز از x خواهد بود.
۲) محدودسازی نگاشت
اگر p1 یک نگاشت تصویر باشد، محدودسازی آن روی یک زیرمجموعهٔ مناسب به صورت زیر نوشته میشود:
p1|Kx : Kx → U
در اینجا Kx یک همسایگی مناسب از x در فضای مبدأ است که نگاشت p1 روی آن رفتار خوبی دارد.
۳) بررسی باز بودن تصویر
برای نشان دادن پیوستگی یا همریختی موضعی بودن محدودسازی، یک مجموعهٔ باز مثل V را در نظر میگیریم
و تصویر آن را تحت نگاشت بررسی میکنیم.
V ⊆ Kx
ایدهٔ اصلی برهان این است که تصویر V را با استفاده از نگاشتهای معکوس موضعی و اشتراک با همسایگیهای
انتخابشده توصیف کنیم. در نتیجه، اگر V باز باشد، تصویر آن نیز در فضای مقصد باز خواهد بود.
نکته مهم: اگر محدودسازی یک نگاشت روی همسایگی مناسب دارای معکوس پیوسته باشد،
آن محدودسازی یک همریختی موضعی است.
۴) نتیجهٔ نهایی
از انتخاب همسایگیهای مناسب و بررسی تصویر مجموعههای باز نتیجه میگیریم که نگاشت تصویر،
دستکم در اطراف هر نقطه، مانند یک همریختی عمل میکند.
p1 is a local homeomorphism
به بیان دیگر، برای هر نقطهٔ مناسب، همسایگیای وجود دارد که محدودسازی p1 روی آن همسایگی،
یک تناظر دوسویهٔ پیوسته با معکوس پیوسته است.
خلاصهٔ کوتاه
- برای x دو همسایگی باز U1 و U2 انتخاب میشود.
- اشتراک آنها یعنی W = U1 ∩ U2 همچنان باز است.
- نگاشت p1 روی یک همسایگی مناسب محدود میشود.
- با بررسی تصویر بازها، همریختی موضعی بودن ثابت میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.