همسایگیهای مناسب و محدودسازیِ نگاشتهای تصویر
در این قسمت، برای نقطهای مانند
x
از یک فضای توپولوژیک، همسایگیهای مناسبی انتخاب میکنیم تا رفتار نگاشت مورد نظر
در اطراف آن نقطه بررسی شود.
۱) انتخاب همسایگیها
فرض کنید
U1
و
U2
دو همسایگیِ باز از نقطهٔ
x
باشند. اشتراک آنها را با
W
نشان میدهیم:
W = U1 ∩ U2
چون اشتراکِ دو مجموعهٔ باز، باز است، مجموعهٔ
W
نیز یک همسایگیِ باز از \(x\) خواهد بود.
۲) محدودسازی نگاشت
اگر
p1
یک نگاشت تصویر باشد، محدودسازی آن به یک زیرمجموعهٔ مناسب، به شکل زیر نوشته میشود:
p1|Kx : Kx → U
در اینجا
Kx
همسایگی یا زیرمجموعهای مناسب در فضای مبدأ است که نگاشت
p1
روی آن رفتار خوبی دارد.
۳) بررسی باز بودن تصویر
برای نشان دادن پیوستگی یا همریختی موضعی بودنِ محدودسازی، یک مجموعهٔ باز مانند
V
را در نظر میگیریم و تصویر آن را تحت نگاشت بررسی میکنیم.
V ⊆ Kx
ایدهٔ اصلی برهان این است که تصویر \(V\) را با استفاده از نگاشتهای معکوسِ
موضعی و اشتراک با همسایگیهای انتخابشده توصیف کنیم. در نتیجه، اگر \(V\) باز باشد،
تصویر آن نیز در فضای مقصد باز خواهد بود.
ایدهٔ کلیدی:
اگر محدودسازیِ یک نگاشت روی همسایگیِ مناسب دارای معکوس پیوسته باشد،
آن محدودسازی یک همریختی موضعی است.
۴) نتیجهٔ نهایی
از انتخاب همسایگیهای مناسب و بررسی تصویر مجموعههای باز نتیجه میگیریم که
نگاشت تصویر، دستکم در اطراف هر نقطه، مانند یک همریختی عمل میکند؛ یعنی:
p1 is a local homeomorphism
به بیان دیگر، برای هر نقطهٔ مناسب، همسایگیای وجود دارد که محدودسازیِ
p1
بر آن همسایگی، یک تناظر دوسویهٔ پیوسته با معکوس پیوسته است.
خلاصهٔ امتحانی
- برای \(x\)، دو همسایگی باز \(U_1\) و \(U_2\) انتخاب میشود.
- اشتراک آنها، یعنی \(W=U_1\cap U_2\)، همچنان باز است.
- نگاشت تصویر \(p_1\) روی یک همسایگی مناسب محدود میشود.
- با بررسی تصویر بازها یا ساخت معکوس موضعی، همریختی موضعی بودن اثبات میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.