نگاشتهای محلی، چسباندن و پوششهای باز
در این صفحه، ایدهٔ اصلی چنین است: اگر یک فضای توپولوژیک را با بازهای مناسب پوشش دهیم
و روی هر باز نگاشتی سازگار داشته باشیم، آنها را میتوان به یک نگاشت سراسری
روی کل فضا چسباند.
۱) نگاشت سراسری و محدودسازی
فرض کنید f
یک نگاشت سراسری باشد و
U
یک باز از دامنه. آنگاه محدودسازی نگاشت روی این باز بهصورت
f|U
نوشته میشود.
f|U : U → Y
این یعنی برای هر x ∈ U،
داریم
f|U(x)=f(x).
۲) دو باز و اشتراک آنها
اگر U1
و
U2
دو باز باشند، اشتراک آنها
W = U1 ∩ U2
باز است. در این اشتراک، اگر دو نگاشت محلی داشته باشیم که روی ناحیهٔ مشترک یکسان باشند،
میتوان آنها را به یک نگاشت واحد چسباند.
W = U1 ∩ U2
۳) سازگاری روی ناحیهٔ مشترک
اگر دو نگاشت محلی روی اشتراک W
برابر باشند، یعنی
f1|W = f2|W
آنگاه یک نگاشت سراسری
f
روی U1 ∪ U2
تعریف میشود که در هر قسمت با نگاشت مربوطه یکی است.
۴) تصویر و پیشتصویر
در شکلِ صفحه، نگاشتهای
p1
و
p2
بهصورت تصویرهای طبیعی دیده میشوند. به طور کلی اگر
x
در فضای مبدأ باشد، آنگاه
pi(x)
مولفهٔ متناظر را استخراج میکند.
p1 : X → X1
p2 : X → X2
همچنین اگر f
روی اشتراکها یکسان باشد، آنگاه پیشتصویرِ مجموعههای باز نیز باز میماند؛
و این همان پایهٔ پیوستگی نگاشت چسبیده است.
۵) جمعبندی
- محدودسازی نگاشت روی باز با f|U نوشته میشود.
- اگر دو نگاشت محلی روی اشتراک برابر باشند، میتوان آنها را چسباند.
- اشتراک بازها با W = U1 ∩ U2 نشان داده میشود.
- ایدهٔ اصلی صفحه، سازگاری موضعی و ساخت نگاشت سراسری از دادههای محلی است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.