ویژگی ششم: وجود پوشش جهانی (Universal Cover)
یکی از بنیادیترین نتایج در نظریهٔ فضاهای پوششی، وجودِ پوشش جهانی است. پوشش جهانی، پوششی است که فضای پوشانندهٔ آن هیچ حلقهٔ اساسیِ غیرقابلانقباضی ندارد؛ یعنی فضای بالایی سادههمبند است.
بهطور شهودی، پوشش جهانی پیچوخمهای توپولوژیک یک فضا را «باز میکند». حلقههایی که در فضای پایه ممکن است دور یک حفره بچرخند یا قابلانقباض نباشند، در پوشش جهانی به مسیرهایی باز تبدیل میشوند.
تعریف
فرض کنید X یک فضای توپولوژیک همبندِ مسیری باشد. یک نگاشت پوششی
pU : EU → X
را پوشش جهانیِ X مینامیم، هرگاه فضای پوشانندهٔ EU سادههمبند باشد؛ یعنی:
π1(EU, e0) = {1}
برای یک فضای همبندِ مسیری و همبندِ مسیریِ موضعی، در شرایط استاندارد نظریهٔ پوششها، چنین پوششی وجود دارد. در بیان دقیقتر، فرض رایج برای تضمین وجود پوشش جهانی این است که فضا نیمهموضعاً سادههمبند نیز باشد.
X : path-connected, locally path-connected,
semilocally simply connected
آنگاه یک پوشش جهانی برای X وجود دارد.
چرا به آن «جهانی» میگوییم؟
واژهٔ «جهانی» به این معناست که این پوشش بر تمام پوششهای همبند دیگرِ فضای X احاطه دارد. اگر
p : E → X
یک پوشش همبند دلخواه از X باشد و
pU : EU → X
پوشش جهانی باشد، آنگاه نگاشت پوششی مناسبی وجود دارد:
q : EU → E
بهطوریکه نمودار زیر جابهجاییپذیر است:
pU = p ∘ q
بنابراین هر پوشش همبندِ دیگرِ X از پوشش جهانی بهدست میآید. به زبان شهودی، پوشش جهانی «بزرگترین» فضای پوشاننده و در عین حال «بازترین» نسخهٔ پوشانندهٔ فضای پایه است.
صورت قضیهٔ وجود پوشش جهانی
فرض کنید X فضایی باشد که سه شرط زیر را داشته باشد:
- همبندِ مسیری باشد؛
- همبندِ مسیریِ موضعی باشد؛
- نیمهموضعاً سادههمبند باشد.
آنگاه پوششی مانند
pU : EU → X
وجود دارد که در آن:
π1(EU, e0) = {1}
یعنی EU سادههمبند است. افزون بر این، پوشش جهانی تا همارزیِ پوششها یکتا است.
ساخت شهودیِ پوشش جهانی با مسیرها
یک نقطهٔ پایه مانند x0 ∈ X انتخاب کنید. اعضای فضای پوشش جهانی را میتوان از کلاسهای هموتوپیِ مسیرهایی ساخت که از x0 شروع میشوند.
بهصورت نمادین:
EU = { [γ] | γ : [0,1] → X , γ(0) = x0 }
در اینجا [γ] کلاس هموتوپی مسیر γ است، به شرط آنکه هموتوپی نقاط ابتدا و انتهای مسیر را ثابت نگه دارد.
نگاشت پوششی طبیعی با گرفتن نقطهٔ انتهایی مسیر تعریف میشود:
pU([γ]) = γ(1)
پس هر نقطه از پوشش جهانی، در واقع نشاندهندهٔ یک روش مشخص برای رسیدن از نقطهٔ پایه به نقطهای از فضای X است. دو مسیر تنها هنگامی یک نقطه از پوشش جهانی را نمایش میدهند که با ثابت نگهداشتن ابتدا و انتها هموتوپ باشند.
رابطه با گروه بنیادی
در تناظر اساسی میان پوششهای همبندِ X و زیرگروههای گروه بنیادی آن، پوشش جهانی متناظر با زیرگروه بدیهی است:
{1} ≤ π1(X, x0)
زیرا گروه بنیادی فضای بالایی در پوشش جهانی بدیهی است:
(pU)*
(π1(EU, e0))
=
{1}
به همین علت، پوشش جهانی نسبت به تمام پوششهای همبند دیگر در رأس تناظر زیرگروهها قرار میگیرد.
مثال اول: پوشش جهانی دایره
دایره S1 سادههمبند نیست، زیرا حلقههایی دارد که یک بار دور دایره میچرخند و در خود دایره قابلانقباض نیستند. پوشش جهانی آن خط حقیقی است:
p : ℝ → S1
p(t) = e2πit
یا اگر دایره را با پارامتر زاویه توصیف کنیم:
p(t) = (cos(2πt), sin(2πt))
خط حقیقی ℝ سادههمبند است:
π1(ℝ) = {1}
بنابراین، ℝ پوشش جهانی دایره است. هر بار حرکت به اندازهٔ یک واحد روی خط، متناظر با یک دور کامل حرکت روی دایره است.
مثال دوم: فضای تصویری حقیقی
برای هر n ≥ 2، کرهٔ Sn یک پوشش دوورقهای از فضای تصویری حقیقی RPn است:
p : Sn → RPn
p(x) = [x]
که در آن نقاط متقابل کره با هم شناسایی میشوند:
x ~ −x
از آنجا که برای n ≥ 2 کرهٔ Sn سادههمبند است، این نگاشت پوشش جهانیِ RPn خواهد بود.
یکتایی پوشش جهانی
پوشش جهانی ممکن است با مدلها یا ساختهای متفاوت ظاهر شود، اما تا همارزیِ پوششها یکتا است. یعنی اگر:
p1 : E1 → X
و
p2 : E2 → X
دو پوشش جهانیِ فضای X باشند، آنگاه هومئومورفیسمی مانند h وجود دارد که با نگاشتهای پوششی سازگار است:
h : E1 → E2
p2 ∘ h = p1
پس از دید نظریهٔ پوششها، هر دو ساخت در اصل یک پوشش جهانی را توصیف میکنند.
نکتهٔ مهم
همبندِ مسیری بودن و همبندِ مسیریِ موضعی بودن به تنهایی برای تضمین وجود پوشش جهانی کافی نیست. شرط مهم سوم، یعنی نیمهموضعاً سادههمبند بودن، لازم است.
این شرط بهطور شهودی میگوید در اطراف هر نقطه، همسایگیِ کوچکی وجود دارد که حلقههای آن، وقتی در کل فضای X دیده شوند، حلقههای اساسی تولید نکنند. بدون این شرط، فضاهایی وجود دارند که با وجود همبندی مسیری و همبندی مسیریِ موضعی، پوشش جهانی ندارند.
جمعبندی
- پوشش جهانی، پوششی است که فضای بالایی آن سادههمبند باشد.
- برای وجود آن معمولاً فرض میکنیم فضا همبندِ مسیری، همبندِ مسیریِ موضعی و نیمهموضعاً سادههمبند باشد.
- هر پوشش همبند دیگرِ فضای پایه از طریق یک نگاشت پوششی از پوشش جهانی بهدست میآید.
- پوشش جهانی با زیرگروه بدیهی {1} در گروه بنیادی متناظر است.
- پوشش جهانی دایره S1، خط حقیقی ℝ است.
- پوشش جهانی تا همارزیِ پوششها یکتا است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.