ویژگی چهارم: بالا بردن یکتای هموتوپی (Homotopy Lifting Property)
پس از ویژگیِ «بالا بردن یکتای مسیر»، به خاصیت عمیقتر و مهمتری میرسیم: بالا بردن هموتوپی. این ویژگی میگوید نهتنها یک مسیر در فضای پایه، بلکه یک خانوادهٔ پیوسته از مسیرها نیز میتواند بهطور یکتا به فضای پوششی منتقل شود.
این قضیه یکی از ابزارهای اصلی در فهم رابطهٔ میان فضاهای پوششی و گروه بنیادی است.
صورت قضیه
فرض کنید
p : E → X
یک نگاشت پوششی باشد و
H : [0,1] × [0,1] → X
یک هموتوپی باشد. برای هر
t ∈ [0,1]،
مسیر
Ht
بهصورت زیر تعریف میشود:
Ht(s) = H(s,t)
بنابراین، H را میتوان خانوادهای پیوسته از مسیرها دانست که مسیر ابتدایی آن برابر است با:
H0(s) = H(s,0) = γ0(s)
و مسیر نهایی آن برابر است با:
H1(s) = H(s,1) = γ1(s)
حال فرض کنید یک بالا بردن از مسیر ابتدایی داشته باشیم:
γ̃0 : [0,1] → E
بهطوریکه:
p ∘ γ̃0 = γ0
آنگاه یک هموتوپی یکتا
H̃ : [0,1] × [0,1] → E
وجود دارد که شرایط زیر را ارضا میکند:
بالا بردن بودن:
p ∘ H̃ = H
تطابق با مسیر بالا برده شدهٔ اولیه:
H̃(s,0) = γ̃0(s)
به بیان دیگر، اگر فقط بدانیم که ردیف ابتدایی هموتوپی چگونه به E بالا رفته است، کل مستطیل هموتوپی بهصورت پیوسته و یکتا در فضای پوششی تعیین میشود.
نمودار شهودی قضیه
[0,1] × [0,1] -- H̃ --> E
| | p
| H v
└-----------------> X
این نمودار به این معناست که اگر ابتدا در فضای پوششی حرکت کنیم و سپس با p به فضای پایه بیاییم، دقیقاً همان هموتوپیِ H را به دست میآوریم.
تحلیل شهودی
هموتوپی را میتوان به یک «فیلم پیوسته از مسیرها» تشبیه کرد. در لحظهٔ
t = 0
مسیر
γ0
را داریم و در لحظهٔ
t = 1
به مسیر
γ1
میرسیم. در زمانهای میان این دو، مسیرها بهآرامی و پیوسته تغییر میکنند.
قضیهٔ بالا بردن هموتوپی میگوید اگر نخستین فریم این فیلم، یعنی
γ0،
در فضای پوششی بالا برده شده باشد، آنگاه تمام فریمهای دیگر فیلم نیز بهطور پیوسته در E بالا میروند. افزون بر این، هیچ انتخاب دیگری برای این بالا بردن وجود ندارد؛ پس بالا بردن یکتا است.
ایدهٔ اثبات
ایدهٔ اصلی اثبات، استفاده از فشردگی مربع
[0,1] × [0,1]
و همسایگیهای ورقهورقه است.
چون p یک پوشش است، هر نقطه از X دارای همسایگیِ بازِ ورقهورقهای است.
تصویر هموتوپی H را با تعداد متناهی از این همسایگیها میپوشانیم.
مربع [0,1] × [0,1] را به مستطیلهای کوچکتر تقسیم میکنیم، بهطوریکه تصویر هر مستطیل درون یکی از همسایگیهای ورقهورقه قرار گیرد.
روی هر مستطیل کوچک، به دلیل هومئومورف بودن هر ورقه با همسایگی متناظر در X، هموتوپی بهطور یکتا بالا میرود.
یکتاییِ بالا بردن مسیر تضمین میکند که بالا بردنهای محلی روی مرزهای مشترک با یکدیگر سازگارند؛ در نتیجه به یک نگاشت پیوستهٔ سراسری H̃ چسبانده میشوند.
نتیجهٔ مهم: هموتوپی نسبت به نقاط ابتدا و انتها
کاربرد اساسی این قضیه زمانی است که هموتوپی، نقاط ابتدا و انتهای مسیرها را ثابت نگه دارد. یعنی اگر:
H(0,t) = x0 and H(1,t) = x1
برای هر
t ∈ [0,1]،
میگوییم
γ0
و
γ1
نسبت به دو سر مسیر هموتوپیکاند.
اگر بالا بردنِ مسیر ابتدایی از نقطهٔ
e0 ∈ p−1(x0)
شروع شود، آنگاه در بالا بردن هموتوپی داریم:
H̃(0,t) = e0
زیرا این مسیر، بالا بردن مسیر ثابت
H(0,t) = x0
است که از e0 آغاز میشود؛ و بالا بردن مسیر ثابت نیز ثابت است.
به همین ترتیب، مسیر
t ↦ H̃(1,t)
بالا بردن مسیر ثابت
t ↦ x1
است. پس ثابت خواهد بود و نتیجه میگیریم:
γ̃0(1) = γ̃1(1)
بنابراین، اگر دو مسیر نسبت به ابتدا و انتها هموتوپیک باشند و بالا بردنهای آنها از یک نقطهٔ مشترک آغاز شوند، بالا بردهشدهها نیز به یک نقطهٔ مشترک ختم میشوند.
ارتباط با حلقهها و گروه بنیادی
فرض کنید
x0 ∈ X
و
e0 ∈ E
بهطوریکه:
p(e0) = x0
هر حلقه
γ : [0,1] → X
بر پایهٔ x0 را از نقطهٔ e0 بالا میبریم. ممکن است بالا بردهشدهٔ آن حلقه نباشد؛ یعنی ممکن است:
γ̃(1) ≠ e0
اما قضیهٔ بالا بردن هموتوپی تضمین میکند که نقطهٔ پایانی
γ̃(1)
فقط به کلاس هموتوپی حلقه وابسته است، نه به نمایندهٔ خاص آن حلقه.
پس میتوان نگاشتی خوشتعریف تعریف کرد:
[γ] ∈ π1(X,x0) ↦ γ̃(1) ∈ p−1(x0)
این نگاشت، عمل طبیعی گروه بنیادی بر تارِ
p−1(x0)
را به وجود میآورد و یکی از پایههای طبقهبندی فضاهای پوششی است.
مثال: پوشش خط حقیقی از دایره
نگاشت زیر را در نظر بگیرید:
p : ℝ → S1, p(u) = exp(2πiu)
فرض کنید دو حلقه بر پایهٔ
1 ∈ S1
هر دو دقیقاً یک بار پادساعتگرد دور دایره میچرخند. اگر این دو حلقه نسبت به نقطهٔ پایه هموتوپیک باشند و بالا بردن هر دو را از
0 ∈ ℝ
آغاز کنیم، هر دو بالا بردهشده در نقطهٔ 1 پایان مییابند:
γ̃0(0) = γ̃1(0) = 0
γ̃0(1) = γ̃1(1) = 1
در مقابل، حلقهای که دو بار دور دایره میچرخد، از 0 به 2 بالا میرود. بنابراین با حلقهای که یک بار دور دایره میچرخد هموتوپیک نیست.
جمعبندی
- هر هموتوپی در فضای پایه، با دانستن بالا بردن مسیر ابتدایی، بهطور یکتا به فضای پوششی بالا میرود.
- اگر هموتوپی نقاط ابتدا و انتهای مسیرها را ثابت نگه دارد، بالا بردهشدهها نیز دارای نقاط ابتدا و انتهای مشترکاند.
- این خاصیت نشان میدهد نقطهٔ پایانیِ بالا بردن یک حلقه، تنها به کلاس هموتوپی آن حلقه بستگی دارد.
- به کمک این نتیجه، ارتباط دقیق میان گروه بنیادی و ساختار فضاهای پوششی برقرار میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.