پایداری پوششها تحت ترکیب
یکی از ویژگیهای مهم نگاشتهای پوششی این است که ترکیب دو نگاشت پوششی، خود نیز یک نگاشت پوششی است. این ویژگی امکان ساختن پوششهای جدید را از طریق ترکیب پوششهای موجود فراهم میکند.
قضیه
فرض کنید دو نگاشت پوششی بهصورت زیر داشته باشیم:
p : E → Y
q : Y → X
آنگاه ترکیب آنها، یعنی نگاشت
q ∘ p : E → X
نیز یک نگاشت پوششی است.
یادآوری تعریف نگاشت پوششی
نگاشت پیوستهٔ p : E → Y را یک نگاشت پوششی مینامیم هرگاه برای هر نقطهٔ y ∈ Y، یک همسایگیِ باز V وجود داشته باشد بهطوریکه پیشتصویر آن به اجتماع مجزایی از مجموعههای باز تجزیه شود:
p−1(V) = ⋃β Wβ
و برای هر β، محدودیت نگاشت p بهصورت زیر یک هومئومورفیسم باشد:
p|Wβ : Wβ → V
به مجموعهٔ V، یک همسایگیِ بهطور یکنواخت پوشیدهشده یا همسایگیِ ورقهورقه گفته میشود.
اثبات قضیه
چون q : Y → X یک پوشش است، برای هر نقطهٔ x ∈ X، همسایگیِ باز U از x وجود دارد بهطوریکه:
q−1(U) = ⋃α Vα
و هر محدودیت
q|Vα : Vα → U
یک هومئومورفیسم است.
اکنون p را به هر یک از ورقههای Vα محدود میکنیم. چون p نیز یک پوشش است، برای هر α، مجموعهٔ Vα را میتوان به همسایگیهای بازِ ورقهورقه تجزیه کرد:
p−1(Vα) = ⋃β Wαβ
بهطوریکه برای هر α و β، نگاشت
p|Wαβ : Wαβ → Vα
یک هومئومورفیسم است.
تجزیهٔ پیشتصویر تحت ترکیب
اکنون پیشتصویر U را تحت ترکیب q ∘ p محاسبه میکنیم:
(q ∘ p)−1(U)
= p−1(q−1(U))
= p−1(⋃α Vα)
= ⋃α p−1(Vα)
= ⋃α,β Wαβ
پس پیشتصویر U تحت ترکیب q ∘ p به اجتماع مجزای مجموعههای باز Wαβ تجزیه میشود.
هومئومورفیسم روی هر ورقه
برای هر زوج شاخص (α, β)، دو نگاشت زیر هومئومورفیسماند:
p|Wαβ : Wαβ → Vα
q|Vα : Vα → U
بنابراین ترکیب آنها نیز هومئومورفیسم است:
(q ∘ p)|Wαβ
:
Wαβ → U
زیرا ترکیب دو هومئومورفیسم، یک هومئومورفیسم است. در نتیجه، مجموعهٔ U تحت نگاشت q ∘ p بهطور یکنواخت پوشیده شده است.
چون برای هر نقطهٔ x ∈ X چنین همسایگیِ ورقهورقهای وجود دارد، نتیجه میگیریم که:
q ∘ p : E → X
یک نگاشت پوششی است.
مثال
پوشش استاندارد خط حقیقی بر دایره را در نظر بگیرید:
p : ℝ → S1
که معمولاً با فرمول زیر تعریف میشود:
p(t) = (cos(2πt), sin(2πt))
همچنین فرض کنید یک پوشش دیگر از فضای Y بر دایره داشته باشیم:
q : Y → S1
طبق قضیه، ترکیب
q ∘ p : ℝ → S1
نیز یک پوشش خواهد بود. در این حالت، هر ورقهٔ پوشش اول روی یکی از ورقههای پوشش دوم قرار میگیرد و ترکیب این دو ساختار، یک پوشش جدید از دایره میسازد.
نتیجهٔ مفهومی
این قضیه نشان میدهد که پوششها مانند نگاشتهای معمولی نیستند که ترکیب آنها نیازمند بررسیهای جداگانه و پیچیده باشد. ساختار ورقهورقهٔ پوشش اول روی ورقههای پوشش دوم حفظ میشود و از ترکیب این ورقهها، ورقههای پوشش مرکب به دست میآیند.
بهصورت خلاصه، اگر
p : E → Y
q : Y → X
دو پوشش باشند، آنگاه:
q ∘ p : E → X
نیز پوششی است.
خلاصهٔ قضیه
- ترکیب دو نگاشت پیوسته، پیوسته است.
- پیشتصویر یک همسایگیِ ورقهورقه تحت ترکیب، به مجموعههایی مانند Wαβ تجزیه میشود.
- محدودیت هر ترکیب بر روی Wαβ، ترکیب دو هومئومورفیسم است.
- ترکیب دو پوشش، یک پوشش جدید ایجاد میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.