لمی دربارهٔ زیر فضاهای پوششی در فضای پوشاننده
فرض کنید
p : X̃ → X
یک نگاشت پوششی باشد و
A ⊆ X
یک زیرمجموعهٔ همبند و همبند بهوسیلهٔ مسیر از فضای پایه باشد. در این پست، لمی را بیان و اثبات میکنیم که نشان میدهد پیشتصویر A تحت نگاشت پوششی، خود یک فضای پوششی روی A میسازد.
صورت لم
اگر
p : X̃ → X
یک نگاشت پوششی باشد و
A ⊆ X
یک زیر فضای همبندِ بهوسیلهٔ مسیر از X باشد، آنگاه:
p|p−1(A) : p−1(A) → A
نیز یک نگاشت پوششی است.
توضیح ایدهٔ لم
این نتیجه کاملاً طبیعی است. چون نگاشت p روی کل فضای X پوششی است، انتظار داریم اگر فقط روی یک زیر فضا A متمرکز شویم، باز هم رفتار پوششی حفظ شود. یعنی هر نقطه از A باید یک همسایگی باز در A داشته باشد که بهطور یکنواخت توسط محدودۀ نگاشت پوشانده شود.
اثبات لم
میخواهیم نشان دهیم که نگاشت
p|p−1(A) : p−1(A) → A
یک نگاشت پوششی است.
یک نقطهٔ دلخواه
a ∈ A
را در نظر میگیریم. چون p : X̃ → X یک نگاشت پوششی است، برای نقطهٔ a یک همسایگی باز U در X وجود دارد بهطوریکه:
p−1(U) = ⋃α∈I Uα
که در آن مجموعههای Uα دو به دو مجزا و باز در X̃ هستند و برای هر α، محدودۀ نگاشت
p|Uα : Uα → U
یک هومئومورفیسم است.
اکنون مجموعهٔ
U ∩ A
را در نظر میگیریم. این مجموعه در توپولوژی زیر فضا، یک همسایگی باز از نقطهٔ a در A است.
حال پیشتصویر این مجموعه را تحت محدودۀ نگاشت حساب میکنیم:
(p|p−1(A))−1(U ∩ A) = p−1(U ∩ A)
= p−1(U) ∩ p−1(A)
= (⋃α∈I Uα) ∩ p−1(A)
= ⋃α∈I (Uα ∩ p−1(A))
پس پیشتصویر U ∩ A به اجتماع مجموعههای
Uα ∩ p−1(A)
تجزیه میشود.
این مجموعهها در زیر فضای p−1(A) باز هستند، زیرا Uα در X̃ باز است.
اکنون باید نشان دهیم که محدودۀ نگاشت روی هر یک از این تکهها یک هومئومورفیسم است. برای هر α داریم:
p(Uα ∩ p−1(A)) = p(Uα) ∩ A = U ∩ A
زیرا p(Uα) = U.
از طرف دیگر، چون
p|Uα : Uα → U
یک هومئومورفیسم است، محدودۀ آن روی زیر مجموعهٔ
Uα ∩ p−1(A)
نیز یک هومئومورفیسم از این مجموعه به
U ∩ A
خواهد بود. یعنی:
p|Uα ∩ p−1(A) : Uα ∩ p−1(A) → U ∩ A
یک هومئومورفیسم است.
پس برای هر نقطهٔ a ∈ A یک همسایگی باز در A پیدا کردیم که پیشتصویرش به اجتماع مجزایی از مجموعههای باز تجزیه میشود و محدودۀ نگاشت روی هر تکه یک هومئومورفیسم است.
بنابراین:
p|p−1(A) : p−1(A) → A
یک نگاشت پوششی است.
نتیجه
اگر از یک فضای پوششی، فقط روی یک زیر فضا از فضای پایه متمرکز شویم، باز هم ساختار پوششی از بین نمیرود. به بیان دیگر، محدودۀ نگاشت پوششی به پیشتصویر یک زیر فضا، همچنان یک پوشش از همان زیر فضا به دست میدهد.
نکتهٔ مهم
در این اثبات، شرط همبند یا همبند بهوسیلهٔ مسیر بودن A برای اصلِ پوششی بودنِ محدودۀ نگاشت لازم نیست. یعنی حتی اگر A فقط یک زیر فضا از X باشد، باز هم نتیجه برقرار است.
البته این شرطها در قضایای بعدی، بهویژه هنگام بررسی فضاهای پوششی همبند، بالابری مسیرها و ارتباط با گروه بنیادی، اهمیت پیدا میکنند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.