ریاضیات

تجزیه‌وتحلیل قضیهٔ ترکیب نگاشت‌های پوششی

قضیه‌ای که در تصاویر آمده است، دربارهٔ پایداری نگاشت‌های پوششی تحت ترکیب است. صورت دقیق قضیه چنین است:

فرض کنید p و q هر دو نگاشت پوششی باشند. آنگاه نگاشت ترکیبی زیر نیز یک نگاشت پوششی است:

۱. معنای نگاشت پوششی

برای اثبات پوششی بودن یک نگاشت، باید نشان دهیم که هر نقطه از فضای مقصد دارای همسایگی بازی است که وارونۀ آن به اجتماع جدا از همی از مجموعه‌های باز تجزیه می‌شود و نگاشت روی هر یک از این مجموعه‌ها یک هومئومورفیسم باشد.

بنابراین، برای هر y ∈ Y باید همسایگی بازی مانند U پیدا کنیم به‌طوری‌که:

که در آن مجموعه‌های V_α باز و دو به دو جدا از هم هستند و محدودۀ نگاشت q به هر V_α یک هومئومورفیسم از V_α به U است.

۲. انتخاب همسایگی مناسب

چون q یک نگاشت پوششی است، برای هر y ∈ Y همسایگی بازی مانند U وجود دارد که به‌طور یکنواخت توسط q پوشانده می‌شود:

اکنون باید همین مجموعه‌های V_α را برای پوشش p بررسی کنیم. از آنجا که p پوششی است، هر نقطۀ x ∈ X یک همسایگی باز دارد که به‌طور یکنواخت توسط p پوشانده می‌شود. اما برای استفادهٔ دقیق در این اثبات، لازم است مجموعه‌های V_α را در صورت نیاز کوچک‌تر کنیم تا هر کدام یک مجموعهٔ متناسب برای پوشش p باشند.

پس برای هر α داریم:

که در آن مجموعه‌های W_αβ باز و دو به دو جدا از هم هستند و:

یک هومئومورفیسم است.

۳. محاسبۀ وارونۀ نگاشت ترکیبی

بگذارید:

آنگاه برای همسایگی U داریم:

پس وارونۀ همسایگی U تحت نگاشت ترکیبی، به اجتماع مجموعه‌های باز W_αβ تجزیه می‌شود.

۴. بررسی محدودۀ نگاشت ترکیبی

روی هر مجموعهٔ W_αβ، نگاشت ترکیبی به‌صورت زیر است:

هر دو نگاشت سمت راست هومئومورفیسم‌اند:

و ترکیب دو هومئومورفیسم نیز هومئومورفیسم است. بنابراین:

یک هومئومورفیسم است.

۵. نتیجه

در نتیجه، برای هر نقطۀ y ∈ Y همسایگی بازی مانند U پیدا کردیم که تحت نگاشت q ∘ p به‌طور یکنواخت پوشانده می‌شود. بنابراین:

یک نگاشت پوششی است.

نکتهٔ اصلاحی دربارهٔ جواب دست‌نویس

ایدهٔ اصلی جواب دست‌نویس درست است: ابتدا یک همسایگی مت evenly covered برای q انتخاب می‌شود، سپس هر ورقۀ آن برای p به مجموعه‌های بازتر تجزیه می‌گردد و در پایان از ترکیب هومئومورفیسم‌ها استفاده می‌شود.

بااین‌حال، دو نکته باید اصلاح شود:

نخست، صرفاً نوشتن p⁻¹(V_α) کافی نیست؛ باید صریحاً نوشته شود که این مجموعه به اجتماع مجموعه‌های باز W_αβ تجزیه می‌شود و محدودۀ p روی هر کدام هومئومورفیسم است.

دوم، باید مشخص شود که هومئومورفیسم بودن محدودۀ نگاشت ترکیبی از رابطهٔ زیر نتیجه می‌شود:

بنابراین پاسخ اصلاح‌شده، همان ایدهٔ دست‌نویس را با بیان دقیق‌تر و با ذکر کامل تجزیۀ وارونه و هومئومورفیسم بودن محدودۀ نگاشت ترکیبی ارائه می‌کند.