اثبات اینکه خودریختیهای پوشش روی فیبر بهطور ترادیسی عمل میکنند
در این پست، یک نتیجهٔ مهم از نظریهٔ فضاهای پوششی را بهصورت ساده و آموزشی بررسی میکنیم.
فرض کنید
X̃
p : X̃ → X
یک پوشش منظم از فضای
X
باشد. میخواهیم نشان دهیم گروه خودریختیهای پوشش، یعنی
A(X̃,p)
روی هر فیبر
p⁻¹(x)
بهطور ترادیسی عمل میکند.
صورت مسئله
اگر
x ∈ X
باشد، باید ثابت کنیم که برای هر دو نقطهٔ
x̃, ỹ ∈ p⁻¹(x)
خودریختیای مانند
φ ∈ A(X̃,p)
وجود دارد بهطوریکه:
φ(x̃) = ỹ
یعنی هر دو نقطه از یک فیبر را میتوان با یک خودریختی پوشش به هم رساند.
این دقیقاً همان معنی «عمل ترادیسی» است.
گام اول: نگاشت القایی پوشش
چون
p : X̃ → X
پیوسته است، یک همریختی القایی روی گروههای بنیادی داریم:
p* : π1(X̃,x̃) → π1(X,x)
p*([γ]) = [p ∘ γ]
این نگاشت نشان میدهد که هر حلقه در
X̃
بعد از تصویر شدن توسط
p
به یک حلقه در
X
تبدیل میشود.
گام دوم: انتخاب یک مسیر در فضای پوشش
اکنون دو نقطهٔ
x̃
و
ỹ
را در یک فیبر ثابت
p⁻¹(x)
در نظر بگیرید. یعنی:
p(x̃) = x
p(ỹ) = x
چون
X̃
همبند است، مسیری مانند
γ̃
وجود دارد که از
x̃
به
ỹ
میرود:
γ̃ : I → X̃
γ̃(0) = x̃
γ̃(1) = ỹ
اکنون تصویر این مسیر را در
X
در نظر میگیریم:
γ = p ∘ γ̃
از آنجا که ابتدا و انتهای
γ̃
هر دو روی نقطهٔ
x
میافتند، مسیر
γ
یک حلقه در
X
بر پایهٔ
x
است.
گام سوم: استفاده از منظم بودن پوشش
خاصیت اصلی پوشش منظم این است که اگر دو بالابری از یک مسیر در
X
از دو نقطهٔ مختلف یک فیبر شروع شوند، آنگاه رابطهٔ بین نقاط پایانی آنها بهوسیلهٔ یک خودریختی پوشش توصیف میشود.
بهعبارت دیگر، برای حلقهٔ
γ
و نقطهٔ شروع
x̃
میتوان به یک تبدیل پوششی رسید که نقطهٔ شروع را به نقطهٔ پایان مسیر بالابرده بفرستد.
در نتیجه، خودریختیای مانند
φ
وجود دارد بهطوریکه:
φ(x̃) = ỹ
و چون
φ
یک خودریختی پوشش است، داریم:
p ∘ φ = p
پس
φ
در گروه
A(X̃,p)
قرار میگیرد.
نتیجهٔ اصلی
پس برای هر دو نقطهٔ
x̃, ỹ ∈ p⁻¹(x)
عنصری از
A(X̃,p)
وجود دارد که یکی را به دیگری میفرستد. بنابراین عمل گروه
A(X̃,p)
روی فیبر
p⁻¹(x)
ترادیسی است.
A(X̃,p) ↷ p⁻¹(x)
و بهطور دقیق:
∀ x̃,ỹ ∈ p⁻¹(x) ، ∃ φ ∈ A(X̃,p) : φ(x̃)=ỹ
توضیح شهودی
یعنی اگر روی یک نقطهٔ
x ∈ X
چندین نقطه در فضای پوشش قرار گرفته باشند، در یک پوشش منظم این نقاط کاملاً متقارناند و گروه خودریختیهای پوشش میتواند هرکدام را به دیگری جابهجا کند.
پس در پوشش منظم، هیچ نقطهای از یک فیبر نسبت به بقیه «ویژهتر» نیست.
این همان چیزی است که از نظم و تقارن پوشش انتظار داریم.
رابطه با گروه بنیادی
در بسیاری از حالتهای مهم، بهویژه در پوششهای جهانی منظم، این تقارن با گروه بنیادی فضای پایه مرتبط میشود و حتی میتوان نوشت:
A(X̃,p) ≅ π1(X,x)
یا در بیان کلیتر، گروه خودریختیهای پوشش با عمل روی فیبر، ساختار جبری فضای پایه را آشکار میکند.
جمعبندی
- در هر پوشش منظم، گروه خودریختیهای پوشش روی هر فیبر عمل میکند.
- این عمل ترادیسی است؛ یعنی هر دو نقطه از یک فیبر با یک خودریختی پوشش به هم میرسند.
- این نتیجه یکی از نشانههای اصلی منظم بودن پوشش است.
- همریختی القایی و بالابری مسیرها ابزار اصلی اثبات این مطلب هستند.
اگر خواستی، در پیام بعدی همین مطلب را هم به صورت «پست کوتاهتر و تمیزتر برای انتشار مستقیم در بلاگفا» هم مینویسم، یا یک پست دومِ مکمل با مثال
p : ℝ → S¹
میسازم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.