همریختی القایی پوشش و ارتباط آن با گروه بنیادی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه دوازدهم مرداد ۱۴۰۵ | 1:26

همریختی القایی پوشش و ارتباط آن با گروه بنیادی

در این پست، ارتباط میان یک نگاشت پوششی، همریختی القایی روی گروه بنیادی و گروه خودریختی‌های پوشش را بررسی می‌کنیم.

فرض کنید

p : X̃ → X

یک نگاشت پوششی باشد. همچنین نقطه‌ای مانند

x̃ ∈ X̃

را در نظر می‌گیریم و می‌گذاریم:

p(x̃) = x

بنابراین، نقطهٔ

x̃

بر روی نقطهٔ

قرار دارد و

x̃ ∈ p⁻¹(x)

است.

۱. همریختی القایی پوشش

از آنجا که نگاشت پوششی

پیوسته است، روی گروه‌های بنیادی یک همریختی القا می‌کند. این همریختی را با

p_*

نمایش می‌دهیم:

p_* : π₁(X̃,x̃) → π₁(X,x)

اگر

[γ]

یک عضو از

π₁(X̃,x̃)

باشد، یعنی

یک حلقه در فضای

X̃

با نقطهٔ پایهٔ

x̃

باشد، آنگاه تعریف همریختی القایی چنین است:

p_*([γ]) = [p ∘ γ]

به بیان ساده، ابتدا حلقهٔ

را به وسیلهٔ

به فضای

می‌فرستیم و سپس کلاس هموتوپی حلقهٔ حاصل را در نظر می‌گیریم.

۲. همریختی بودن نگاشت القایی

عمل گروهی در گروه بنیادی، از طریق چسباندن یا ترکیب مسیرها تعریف می‌شود. اگر

γ₁

γ₂

دو حلقه در

X̃

باشند، داریم:

p_*([γ₁][γ₂])

p_*([γ₁])p_*([γ₂])

زیرا تصویر ترکیب دو مسیر برابر با ترکیب تصاویر آن دو مسیر است:

p ∘ (γ₁ * γ₂)

≃

(p ∘ γ₁) * (p ∘ γ₂)

پس

p_*

یک همریختی گروهی است.

۳. نقش فیبر پوشش

فیبر روی نقطهٔ

x ∈ X

به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

p⁻¹(x) = {x̃ ∈ X̃ | p(x̃) = x}

اکنون فرض کنید

φ ∈ A(X̃,p)

باشد؛ یعنی

یک خودریختی پوشش است. تعریف خودریختی پوشش چنین است:

p ∘ φ = p

این رابطه یعنی برای هر نقطهٔ

ỹ ∈ X̃

داریم:

p(φ(ỹ)) = p(ỹ)

اکنون اگر

ỹ ∈ p⁻¹(x)

باشد، آنگاه

p(ỹ)=x

و بنابراین:

p(φ(ỹ)) = p(ỹ) = x

پس

φ(ỹ) ∈ p⁻¹(x)

و نتیجه می‌گیریم که هر خودریختی پوشش، فیبر را به خودش می‌فرستد:

φ(p⁻¹(x)) = p⁻¹(x)

۴. عمل گروه خودریختی‌ها بر فیبر

بنابراین گروه

A(X̃,p)

روی فیبر

p⁻¹(x)

عمل می‌کند. این عمل به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

A(X̃,p) × p⁻¹(x) → p⁻¹(x)

(φ,ỹ) ↦ φ(ỹ)

در شرایط مناسب، به‌ویژه هنگامی که

p : X̃ → X

یک پوشش جهانی و منظم باشد، این عمل روی فیبر، انتقالی و آزاد است. در این حالت، برای هر دو نقطهٔ

ỹ₁, ỹ₂ ∈ p⁻¹(x)

خودریختی یکتایی مانند

وجود دارد که:

φ(ỹ₁) = ỹ₂

این نتیجه نشان می‌دهد که عناصر فیبر را می‌توان به‌وسیلهٔ خودریختی‌های پوشش به یکدیگر مرتبط کرد.

۵. ارتباط با گروه بنیادی فضای پایه

در یک پوشش جهانی منظم، هر حلقه در فضای پایه را می‌توان به یک مسیر در فضای پوشش بالابری کرد. اگر حلقه در

از نقطهٔ

شروع شود، بالابردهٔ آن از نقطهٔ

x̃

آغاز می‌شود. نقطهٔ پایان مسیر بالابرده‌شده ممکن است خود

x̃

نباشد، بلکه نقطهٔ دیگری از فیبر

p⁻¹(x)

باشد.

این جابه‌جایی نقاط فیبر، اطلاعات گروه بنیادی

π₁(X,x)

را در خود نگه می‌دارد. به همین دلیل، در شرایط استاندارد می‌توان نوشت:

A(X̃,p) ≅ π₁(X,x)

یعنی گروه خودریختی‌های پوشش با گروه بنیادی فضای پایه هم‌ریخت است.

همچنین همریختی القایی پوشش، زیرگروه زیر را در گروه بنیادی فضای پایه مشخص می‌کند:

p_*(π₁(X̃,x̃))

⊆

π₁(X,x)

اگر پوشش جهانی باشد، فضای

X̃

همبند ساده است؛ بنابراین:

π₁(X̃,x̃) = {e}

در نتیجه:

p_*(π₁(X̃,x̃)) = {e}

۶. مثال معروف: پوشش خط حقیقی از دایره

پوشش جهانی معروف دایره را در نظر بگیرید:

p : ℝ → S¹

p(t) = e^2πit

در اینجا خط حقیقی همبند ساده است و بنابراین:

π₁(ℝ,0) = {e}

π₁(S¹,1) ≅ ℤ

پس همریختی القایی پوشش به‌صورت زیر است:

p_* : π₁(ℝ,0) → π₁(S¹,1)

p_* : {e} → ℤ

چون گروه مبدأ تریویال است، تنها عضو آن به عضو خنثی گروه مقصد فرستاده می‌شود. از سوی دیگر، خودریختی‌های پوشش به‌صورت انتقال‌های صحیح تعریف می‌شوند:

φₖ(t) = t + k

k ∈ ℤ

و داریم:

p(φₖ(t))

p(t+k)

e^2πi(t+k)

e^2πit

p(t)

بنابراین:

A(ℝ,p) ≅ ℤ ≅ π₁(S¹,1)

جمع‌بندی

هر نگاشت پیوستهٔ
p : X̃ → X
یک همریختی القایی
p_*
روی گروه‌های بنیادی ایجاد می‌کند.

خودریختی پوشش فیبر
p⁻¹(x)
را به خودش می‌فرستد.

گروه
A(X̃,p)
روی فیبر پوشش عمل می‌کند.

در پوشش جهانی منظم، گروه خودریختی‌های پوشش با گروه بنیادی فضای پایه مرتبط است:
A(X̃,p) ≅ π₁(X,x).

در پوشش جهانی، فضای پوشاننده همبند ساده است و همریختی القایی
p_*
تصویر تریویال دارد.

در نتیجه، همریختی القایی ابزار اصلی برای انتقال اطلاعات توپولوژیک از فضای پوشاننده به فضای پایه است و نشان می‌دهد که چگونه ساختار گروه بنیادی با فیبر و خودریختی‌های پوشش ارتباط پیدا می‌کند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی