پوشش جهانیِ فضای X
در توپولوژی، اگر فضای پوشاننده به اندازهای ساده باشد که هیچ دورِ اساسیِ غیرقابلانقباضی نداشته باشد، پوشش مربوطه را
پوشش جهانی مینامیم.
پوشش جهانیِ فضای
X
را معمولاً با نگاشت زیر نشان میدهیم:
p : X̃ → X
در اینجا:
- X فضای پایه است.
- X̃ فضای پوشاننده یا پوشش جهانی است.
- p نگاشت پوششی است.
تعریف پوشش جهانی
فرض کنید
X
یک فضای توپولوژیک همبند باشد. نگاشت پوششی
p : X̃ → X
را پوشش جهانی مینامیم، هرگاه فضای
X̃
همبند ساده باشد.
همبند ساده بودن یعنی:
π1(X̃, x̃₀) = {e}
به بیان هندسی، هر مسیر بسته در
X̃
قابل انقباض به یک نقطه است. بنابراین در
X̃
هیچ سوراخ توپولوژیکیِ مؤثری وجود ندارد.
همبندی ساده
فضای توپولوژیک
Y
را همبند ساده مینامیم، هرگاه دو شرط زیر را داشته باشد:
- Y همبند باشد.
- هر مسیر بسته در Y به یک نقطه هموتوپ باشد.
شرط دوم را میتوان با گروه بنیادی بیان کرد:
π1(Y, y₀) = {e}
برای مثال، خط حقیقی
ℝ
همبند ساده است، اما دایرهٔ
S¹
همبند ساده نیست؛ زیرا مسیرهایی وجود دارند که یک بار یا چند بار دور دایره میچرخند و نمیتوان آنها را بدون خروج از دایره به یک نقطه منقبض کرد.
مثال اساسی: پوشش جهانی دایره
پوشش جهانی دایرهٔ واحد را میتوان به صورت زیر تعریف کرد:
p : ℝ → S¹
p(t) = e2πit
فضای
ℝ
همبند ساده است؛ بنابراین این نگاشت یک پوشش جهانی برای
S¹
است.
نقاط
t
و
t + k
برای هر
k ∈ ℤ
به یک نقطه از دایره فرستاده میشوند:
p(t + k)
= e2πi(t+k)
= e2πit
= p(t)
در نتیجه، فیبر هر نقطه از دایره با
ℤ
تناظر دارد. برای مثال، فیبر نقطهٔ
1
برابر است با:
p−1(1) = ℤ
رابطهٔ پوشش جهانی با گروه بنیادی
در شرایط مناسب، گروه بنیادی فضای پایه با گروه خودریختیهای پوشش جهانی ارتباط مستقیم دارد:
π1(X, x₀) ≅ Aut(X̃, p)
در مثال دایره داریم:
π1(S¹, 1) ≅ ℤ
خودریختیهای پوشش جهانی نیز انتقالهای صحیحاند:
φk(t) = t + k,
k ∈ ℤ
و بنابراین:
Aut(ℝ, p) ≅ ℤ
این همان گروهی است که تعداد چرخشهای یک مسیر بسته به دور دایره را ثبت میکند.
بالابردن مسیرها در پوشش جهانی
یکی از ویژگیهای مهم پوشش جهانی، امکان بالابردن مسیرهاست. فرض کنید
γ : [0,1] → X
یک مسیر در فضای پایه باشد و
x̃₀ ∈ X̃
بهگونهای که
p(x̃₀)=γ(0).
در این صورت، مسیری یکتا مانند
γ̃
در فضای پوشاننده وجود دارد که:
γ̃ : [0,1] → X̃
γ̃(0) = x̃₀
p ∘ γ̃ = γ
به
γ̃
بالابردهٔ مسیر
γ
گفته میشود.
در مثال دایره، اگر مسیر یک دور کامل به دور
S¹
بچرخد، بالابردهٔ آن در
ℝ
به اندازهٔ یک واحد جابهجا میشود:
γ̃(1) = γ̃(0) + 1
اگر مسیر دو دور کامل بزند، نقطهٔ پایانی بالابرده به اندازهٔ دو واحد جابهجا میشود. این عدد صحیح همان عنصر متناظر در گروه بنیادی
π1(S¹,1)
است.
یکتایی پوشش جهانی
اگر فضای
X
همبند، همبند موضعی و همبند مسیرگونه باشد و شرایط استاندارد لازم برای وجود پوششها را داشته باشد، پوشش جهانی آن تا همریختی توپولوژیک یکتا است.
یعنی اگر دو پوشش جهانی داشته باشیم:
p₁ : X̃₁ → X
p₂ : X̃₂ → X
آنگاه همریختیای مانند
F : X̃₁ → X̃₂
وجود دارد که نمودار زیر را جابهجا میکند:
p₂ ∘ F = p₁
بنابراین، ممکن است مدلهای متفاوتی برای پوشش جهانی بسازیم، اما همهٔ آنها از نظر توپولوژیک یکساناند.
پوشش جهانی گروههای توپولوژیک
اگر
G
یک گروه توپولوژیک همبند باشد، در شرایط مناسب میتوان پوشش جهانی آن را به صورت یک گروه توپولوژیک
G̃
در نظر گرفت:
p : G̃ → G
در این حالت، هستهٔ نگاشت پوششی برابر است با:
K = ker(p) = p−1(e)
و هر عضو
k ∈ K
میتواند یک خودریختی پوشش ایجاد کند. برای نمونه، با قرارداد ضرب راست:
φk(g̃) = g̃k
زیرا:
p(φk(g̃))
= p(g̃k)
= p(g̃)p(k)
= p(g̃)e
= p(g̃)
پس:
p ∘ φk = p
در بسیاری از حالتهای استاندارد، این ساختار به همریختی زیر منجر میشود:
K ≅ Aut(G̃,p)
جمعبندی
پوشش جهانیِ فضای
X
یک پوشش
p : X̃ → X
است که در آن فضای
X̃
همبند ساده است. این پوشش، پیچیدگیهای توپولوژیک فضای
X
را در قالب فیبرها و خودریختیهای پوشش آشکار میکند.
p : X̃ → X
π1(X̃, x̃₀) = {e}
p−1(x) = فیبرِ نقطهٔ x
p ∘ φ = p
در مهمترین مثال:
ℝ → S¹
t ↦ e2πit
خط حقیقی پوشش جهانی دایره است و گروه خودریختیهای این پوشش با گروه بنیادی دایره همریخت است:
Aut(ℝ,p) ≅ π1(S¹,1) ≅ ℤ
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.