پست ۱۱: رابطههای تقریبی و مرز نادقیق میان کلاسها
در بسیاری از مسائل واقعی، مرز میان گروهها کاملاً دقیق نیست. ممکن است یک عنصر تا حدی به یک کلاس تعلق داشته باشد و همزمان شباهتی نیز با کلاس دیگر نشان دهد. چنین وضعیتی ما را به سمت مفهوم «رابطهٔ تقریبی» هدایت میکند.
در رابطههای کلاسیک، یا یک عنصر با عنصر دیگر در رابطه هست یا نیست. اما در مدلهای تقریبی، شدت رابطه نیز اهمیت پیدا میکند.
برای نمونه، میتوان تابعی تعریف کرد که میزان شباهت دو عنصر را اندازهگیری کند:
S(x, y) ∈ [0, 1]
اگر مقدار این تابع نزدیک به 1 باشد، دو عنصر بسیار مشابهاند و اگر نزدیک به صفر باشد، شباهت کمی دارند.
فرض کنید دو سند متنی داریم. اگر واژههای مشترک فراوانی میان آنها وجود داشته باشد، مقدار شباهت بالا خواهد بود. در مقابل، اگر اشتراک واژگان کم باشد، مقدار شباهت کوچک میشود.
در چنین ساختارهایی، کلاسها دیگر کاملاً جدا نیستند. ممکن است یک عنصر به چند کلاس نزدیک باشد. برای همین، مفهوم «مرز» اهمیت پیدا میکند.
اگر P یک کلاس باشد، میتوان ناحیهٔ مرزی آن را مجموعهٔ عناصری دانست که بهطور کامل قابلتشخیص نیستند:
Boundary(P)
این ایده در نظریهٔ مجموعههای زبر، دادهکاوی و تحلیل تصویر بسیار مهم است.
برای مثال، در تشخیص دستخط، برخی نویسهها ممکن است هم به حرف «ب» و هم به حرف «ت» شباهت داشته باشند. این نویسهها در مرز میان دو کلاس قرار میگیرند.
در تحلیل پزشکی نیز ممکن است یک بیمار بعضی ویژگیهای یک بیماری را داشته باشد، اما همهٔ نشانهها کامل نباشند. در نتیجه، تصمیمگیری کاملاً قطعی دشوار میشود.
یکی از روشهای ساده برای ساخت رابطهٔ تقریبی، تعیین آستانه است:
x R y if S(x, y) ≥ t
در این فرمول، t یک مقدار آستانه است. اگر شباهت از این حد بیشتر باشد، دو عنصر مرتبط در نظر گرفته میشوند.
هرچه مقدار t بزرگتر انتخاب شود، رابطه سختگیرانهتر خواهد بود و فقط عناصر بسیار مشابه در رابطه قرار میگیرند.
جمعبندی: در بسیاری از دادههای واقعی، مرزها دقیق و قطعی نیستند. رابطههای تقریبی و معیارهای شباهت کمک میکنند ساختارهای نادقیق و پیوسته را بهتر مدلسازی کنیم.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.