ریاضیات

فضای هیلبرت؛ زبان ریاضی حالت‌های کوانتومی

در مکانیک کلاسیک، وضعیت یک ذره را با مکان و تکانه توصیف می‌کنیم. اما در مکانیک کوانتومی، وضعیت یک سامانه با یک بردار در فضای هیلبرت نمایش داده می‌شود.

برای یک کیوبیت، ساده‌ترین فضای هیلبرت دارای دو جهت پایه است. این دو جهت را می‌توان با دو حالت پایه نمایش داد:

|0> و |1>

هر حالت عمومی کیوبیت ترکیبی از این دو حالت است:

|psi> = a|0> + b|1>

در اینجا a و b عددهای مختلط‌اند. شرط نرمال‌سازی می‌گوید مجموع اندازه‌های مربع این دو ضریب باید برابر یک باشد:

|a|² + |b|² = 1

عددهای مختلط فقط یک ابزار قراردادی نیستند. فاز مختلط باعث ایجاد تداخل می‌شود؛ یعنی احتمال نهایی یک رویداد فقط از احتمال‌های جداگانه تشکیل نمی‌شود، بلکه جمله‌های تداخلی نیز ظاهر می‌شوند.

اگر دو کیوبیت داشته باشیم، فضای حالت آن‌ها چهار بعدی می‌شود. برای n کیوبیت، تعداد جهت‌های پایه برابر 2ⁿ است.

کاربرد: همین رشد نمایی، هم قدرت رایانش کوانتومی را توضیح می‌دهد و هم دلیل دشواری شبیه‌سازی سامانه‌های کوانتومی را نشان می‌دهد.