ریاضیات

ساختار بسط‌های درجهٔ دو

فرض کنید E/F یک بسط گالوا با درجهٔ دو باشد. طبق قضیهٔ بنیادی گالوا، گروه گالوا دقیقاً دو عضو دارد (گروه C₂).

این گروه تنها دو زیرگروه دارد: زیرگروه همانی و خود کل گروه. بنابراین طبق تناظر گالوا، تنها میدان‌های میانی ممکن، خود میدان پایه و میدان بزرگ‌تر هستند:

F ⊆ K ⊆ E     =>     K=F یا K=E

به همین دلیل، هر بسط گالوا با درجهٔ اول (عدد اول)، فاقد میدان میانی حقیقی است.

نتیجه: درجهٔ اول یک بسط گالوا، ساختار زیرگروهی گروه گالوا را کاملاً تعیین می‌کند و نشان می‌دهد که هیچ بسط میانی‌ای بین میدان پایه و میدان بزرگ وجود ندارد.