## پست ۱۶۶: نرمهای میدان و ردپا
```html
ردپا و نرم در بسطهای متناهی
فرض کنید E/F یک بسط متناهی باشد و
\alpha\in E. هر عضو گروه گالوا، در حالت گالوا، عنصر
\alpha را به یکی از مزدوجهای آن میفرستد.
اگر گروه گالوا را با G=\operatorname{Gal}(E/F) نشان دهیم، ردپا و نرم عنصر
\alpha به ترتیب عبارتاند از:
\operatorname{Tr}_{E/F}(\alpha)
=
\sum_{\sigma\in G}\sigma(\alpha),
\qquad
N_{E/F}(\alpha)
=
\prod_{\sigma\in G}\sigma(\alpha).
برای مثال، در بسط درجهٔ دوم
\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}،
اتومورفیسم غیر بدیهی، \sqrt d را به
-\sqrt d میفرستد. بنابراین:
\operatorname{Tr}(a+b\sqrt d)=2a,
\qquad
N(a+b\sqrt d)=a^2-db^2.
نرم و ردپا عناصر بسط را به عناصر میدان پایه منتقل میکنند و در نظریهٔ اعداد جبری اهمیت اساسی دارند.
```
---
## پست ۱۶۷: قضیهٔ عنصر اولیه
```html
قضیهٔ عنصر اولیه
یک بسط متناهی E/F را ساده مینامیم اگر عنصری مانند
\theta\in E وجود داشته باشد که:
E=F(\theta).
عنصر \theta را عنصر اولیه بسط مینامیم.
قضیهٔ عنصر اولیه میگوید اگر E/F یک بسط متناهی جداییپذیر باشد، آنگاه این بسط ساده است:
E/F\text{ متناهی و جداییپذیر}
\Longrightarrow
E=F(\theta)
\text{ برای عنصری مناسب }\theta.
برای نمونه، بسط:
\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)
در بسیاری از موارد با یک عنصر تولید میشود؛ مثلاً میتوان عنصر
\theta=\sqrt2+\sqrt3
را بررسی کرد.
عنصر اولیه، مطالعهٔ بسطهای چندمولده را به مطالعهٔ یک عنصر و یک چندجملهای مینیمال کاهش میدهد.
```
---
## پست ۱۶۸: میدانهای میانی بسط دو درجهای
```html
ساختار بسطهای درجهٔ دو
فرض کنید E/F یک بسط گالوا با درجهٔ دو باشد:
[E:F]=2.
طبق قضیهٔ بنیادی گالوا، گروه گالوا دقیقاً دو عضو دارد:
\operatorname{Gal}(E/F)\cong C_2.
این گروه تنها دو زیرگروه دارد:
\{e\}
\qquad\text{و}\qquad
C_2.
پس تنها میدانهای میانی ممکن، خود میدان پایه و میدان بزرگتر هستند:
F\subseteq K\subseteq E
\Longrightarrow
K=F\ \text{یا}\ K=E.
به همین دلیل، هر بسط گالوا با درجهٔ اول، فاقد میدان میانی حقیقی است.
نتیجه:
درجهٔ اول یک بسط گالوا، ساختار زیرگروهی گروه گالوا را کاملاً تعیین میکند.
```
---
## پست ۱۶۹: بسطهای درجهٔ چهار و گروه کلاین
```html
گروه کلاین و بسطهای دو درجهای
گروه کلاین، که با V_4 نمایش داده میشود، گروه آبلی زیر است:
V_4=\{e,a,b,ab\},
\qquad
a^2=b^2=(ab)^2=e.
اگر یک بسط گالوا دارای گروه گالوا همریخت با V_4 باشد، درجهٔ آن برابر چهار است:
[E:F]=|V_4|=4.
سه زیرگروه مرتبهٔ دو در V_4 وجود دارد:
\langle a\rangle,\qquad
\langle b\rangle,\qquad
\langle ab\rangle.
بنابراین بسط E/F دقیقاً سه میدان میانی درجهٔ دو دارد:
F\subset K_1,K_2,K_3\subset E,
\qquad
[K_i:F]=2.
نمونهٔ کلاسیک آن:
\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}.
میدانهای میانی این بسط شامل
\mathbb{Q}(\sqrt2)،
\mathbb{Q}(\sqrt3) و
\mathbb{Q}(\sqrt6) هستند.
```
---
## پست ۱۷۰: قضیهٔ اساسی چندجملهایهای متقارن
```html
چندجملهایهای متقارن
چندجملهای در متغیرهای
x_1,\ldots,x_n
را متقارن مینامیم اگر با هر جایگشت متغیرها تغییر نکند.
برای مثال، عبارتهای زیر متقارناند:
x_1+x_2+x_3,
\qquad
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3,
\qquad
x_1x_2x_3.
قضیهٔ اساسی چندجملهایهای متقارن میگوید هر چندجملهای متقارن را میتوان به صورت چندجملهای از چندجملهایهای متقارن مقدماتی نوشت:
e_1=x_1+\cdots+x_n,
e_2=\sum_{i
\qquad
\ldots,
\qquad
e_n=x_1\cdots x_n.
اگر ریشههای چندجملهای
f(x)
را با \alpha_1,\ldots,\alpha_n نشان دهیم، ضرایب آن چندجملهایهای متقارن در ریشهها هستند.
به همین دلیل، هر اتومورفیسم گالوا که ریشهها را جابهجا میکند، ضرایب چندجملهای را ثابت نگه میدارد.
```
---
## پست ۱۷۱: دترمینان و دیسکریمینانت
```html
دیسکریمینانت و گروه گالوا
فرض کنید چندجملهای جداپذیر f(x) دارای ریشههای
\alpha_1,\ldots,\alpha_n باشد. دیسکریمینانت آن از رابطهٔ زیر به دست میآید:
\Delta(f)=\prod_{i
این کمیت نسبت به جایگشت ریشهها ثابت میماند و در نتیجه به ضرایب چندجملهای وابسته است.
ریشهٔ دوم دیسکریمینانت:
\delta=\prod_{i
تحت یک جایگشت زوج ثابت میماند، اما تحت جایگشت فرد علامت آن عوض میشود.
بنابراین:
\operatorname{Gal}(f/F)\subseteq A_n
\Longleftrightarrow
\Delta(f)\text{ در }F\text{ مربع است}.
پس دیسکریمینانت میتواند اطلاعات مهمی دربارهٔ زوج یا فرد بودن جایگشتهای گروه گالوا به دست دهد.
```
---
## پست ۱۷۲: آزمون گروه گالوا با پیمانهای کردن
```html
بررسی گروه گالوا با کاهش پیمانهای
برای مطالعهٔ گروه گالوا یک چندجملهای با ضرایب صحیح، گاهی آن را پیمانهٔ یک عدد اول
p
کاهش میدهیم:
f(x)\in\mathbb{Z}[x]
\longmapsto
\overline{f}(x)\in\mathbb{F}_p[x].
الگوی تجزیهٔ چندجملهای کاهشیافته، اطلاعاتی دربارهٔ نوع جایگشت موجود در گروه گالوا فراهم میکند.
- اگر \overline f تجزیهناپذیر باشد، گروه گالوا شامل یک جایگشت دوری با طول درجهٔ چندجملهای است.
- اگر \overline f به حاصلضرب عوامل با درجات مشخص تجزیه شود، نوع چرخههای متناظر نیز مشخص میشود.
- بررسی چند پیمانهٔ مناسب میتواند گروه گالوا را به زیرگروههای محدودی مقید کند.
برای مثال، در درجهٔ پنج، مشاهدهٔ یک تجزیهٔ خطی به همراه یک عامل درجهٔ چهار میتواند وجود یک جایگشت از نوع:
(1)(4)
را در گروه گالوا نشان دهد.
این روش پل مهمی میان جبر، نظریهٔ اعداد و محاسبات چندجملهای است.
```
---
## پست ۱۷۳: قضیهٔ چبیشف دربارهٔ چندجملهایهای تجزیهناپذیر
```html
چندجملهایهای تجزیهناپذیر و ریشههای حقیقی
در بسیاری از مسائل گالوا، نخست باید تجزیهناپذیری چندجملهای را ثابت کرد. یکی از ابزارهای ساده، بررسی ریشههای گویاست.
اگر چندجملهای درجهٔ دو یا سه با ضرایب صحیح هیچ ریشهٔ گویایی نداشته باشد، تجزیهناپذیر است.
برای چندجملهایهای درجهٔ بالاتر، معیارهای قویتری مانند معیار آیزنشتاین و کاهش پیمانهای به کار میروند.
معیار کاهش پیمانهای:
اگر f(x)\in\mathbb{Z}[x] دارای ضریب پیشرو مناسب باشد و کاهش آن در
\mathbb{F}_p[x]
تجزیهناپذیر باشد، آنگاه خود f(x) روی
\mathbb{Q}
تجزیهناپذیر است.
برای نمونه، اگر کاهش یک چندجملهای درجهٔ چهار روی میدان متناهی
\mathbb{F}_p
تجزیهناپذیر باشد، چندجملهای اصلی نیز روی اعداد گویا تجزیهناپذیر است.
تجزیهناپذیری، اندازهٔ مدار ریشهها و در نتیجه اندازهٔ گروه گالوا را محدود میکند.
```
---
## پست ۱۷۴: قضیهٔ فروبنیوس در میدانهای متناهی
```html
اتومورفیسم فروبنیوس
در میدان متناهی
\mathbb{F}_{q}
که در آن
q=p^n است، نگاشت فروبنیوس به صورت زیر تعریف میشود:
\operatorname{Frob}(x)=x^p.
به دلیل مشخصهٔ p، این نگاشت جمع و ضرب را حفظ میکند:
(x+y)^p=x^p+y^p.
در میدان پایهٔ \mathbb{F}_p، فروبنیوس همانی است؛ اما روی بسط
\mathbb{F}_{p^n}
ممکن است غیر بدیهی باشد.
گروه گالوا میدان متناهی:
\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)
=
\langle\operatorname{Frob}\rangle
\cong C_n.
توانهای فروبنیوس به صورت زیرند:
x,\ x^p,\ x^{p^2},\ldots,x^{p^{n-1}}.
این ساختار، نمونهای بسیار روشن از یک بسط گالوا با گروه گالوا دوری است.
```
---
## پست ۱۷۵: جمعبندی ساختار نظریهٔ گالوا
```html
جمعبندی نظریهٔ گالوا
نظریهٔ گالوا دو ساختار متفاوت را به یکدیگر پیوند میدهد:
\text{بسطهای میدان}
\qquad\longleftrightarrow\qquad
\text{گروههای تقارن}.
اگر E/F یک بسط متناهی گالوا باشد، گروه
\operatorname{Gal}(E/F)
اطلاعات زیر را در اختیار ما میگذارد:
- میدانهای میانی بسط؛
- درجهٔ هر بسط میانی؛
- نرمال بودن یا نبودن بسطهای میانی؛
- نحوهٔ جایگشت ریشههای چندجملهای؛
- امکان حل چندجملهای با رادیکالها.
تناظر اصلی نظریه به صورت زیر خلاصه میشود:
H\leq\operatorname{Gal}(E/F)
\quad\longleftrightarrow\quad
F\subseteq E^H\subseteq E.
از سوی دیگر:
f\text{ با رادیکالها حلپذیر است}
\Longleftrightarrow
\operatorname{Gal}(f/F)\text{ حلپذیر است}.
به این ترتیب، مسئلهای که در ظاهر دربارهٔ فرمولهای جبری است، به مطالعهٔ ساختار گروهها، زیرگروههای نرمال و زنجیرههای خارجقسمتهای آبلی تبدیل میشود.
نتیجهٔ نهایی:
نظریهٔ گالوا نشان میدهد که «قابل حل بودن» یک معادله، بیش از آنکه به شکل ظاهری ضرایب وابسته باشد، به تقارنهای پنهان میان ریشههای آن وابسته است.
```
حتماً. بازنویسی این ۱۰ پست (۱۶۶ تا ۱۷۵) به فرمت سادهٔ HTML که برای محیط بلاگفا ایدهآل است انجام شد. این کدها نیازی به هیچ افزونه یا MathJax ندارند و مستقیماً در ویرایشگر بلاگفا به درستی نمایش داده میشوند.
---
## پست ۱۶۶: ردپا و نرم در بسطهای میدان
```html
ردپا و نرم در بسطهای متناهی
فرض کنید E/F یک بسط متناهی باشد و alpha عنصری در E باشد. هر عضو گروه گالوا، در حالت گالوا، عنصر alpha را به یکی از مزدوجهای آن میفرستد.
اگر گروه گالوا را با G نشان دهیم، ردپا و نرم عنصر alpha به ترتیب عبارتاند از:
TrE/F(alpha) = Σsigma in G sigma(alpha)
NE/F(alpha) = Πsigma in G sigma(alpha)
برای مثال، در بسط درجهٔ دوم Q(sqrt(d))/Q، اتومورفیسم غیربدیهی، sqrt(d) را به منفی sqrt(d) میفرستد. بنابراین:
Tr(a + b*sqrt(d)) = 2a
N(a + b*sqrt(d)) = a2 - d*b2
نرم و ردپا، عناصر بسط را به عناصر میدان پایه منتقل میکنند و در نظریهٔ اعداد جبری اهمیت اساسی دارند.
```
---
## پست ۱۶۷: قضیهٔ عنصر اولیه
```html
قضیهٔ عنصر اولیه
یک بسط متناهی E/F را ساده مینامیم اگر عنصری مانند theta در E وجود داشته باشد که E=F(theta). در این حالت، theta را عنصر اولیه بسط مینامیم.
قضیهٔ عنصر اولیه میگوید اگر E/F یک بسط متناهی و جداییپذیر باشد، آنگاه این بسط ساده است. یعنی همیشه میتوان عنصری مناسب پیدا کرد که تمام میدان را تولید کند.
برای نمونه، بسط Q(sqrt(2), sqrt(3)) را میتوان با یک عنصر تولید کرد؛ مثلاً با بررسی عنصر زیر:
theta = sqrt(2) + sqrt(3)
عنصر اولیه، مطالعهٔ بسطهای چندمولده را به مطالعهٔ یک عنصر و چندجملهای مینیمال آن کاهش میدهد که کار را بسیار سادهتر میکند.
```
---
## پست ۱۶۸: ساختار میدانهای میانی بسط درجهٔ دو
```html
ساختار بسطهای درجهٔ دو
فرض کنید E/F یک بسط گالوا با درجهٔ دو باشد. طبق قضیهٔ بنیادی گالوا، گروه گالوا دقیقاً دو عضو دارد (گروه C2).
این گروه تنها دو زیرگروه دارد: زیرگروه همانی و خود کل گروه. بنابراین طبق تناظر گالوا، تنها میدانهای میانی ممکن، خود میدان پایه و میدان بزرگتر هستند:
F ⊆ K ⊆ E => K=F یا K=E
به همین دلیل، هر بسط گالوا با درجهٔ اول (عدد اول)، فاقد میدان میانی حقیقی است.
نتیجه: درجهٔ اول یک بسط گالوا، ساختار زیرگروهی گروه گالوا را کاملاً تعیین میکند و نشان میدهد که هیچ بسط میانیای بین میدان پایه و میدان بزرگ وجود ندارد.
```
---
## پست ۱۶۹: گروه کلاین و بسطهای درجهٔ چهار
```html
گروه کلاین و بسطهای دو درجهای
گروه کلاین (V4) گروهی است که چهار عضو دارد و هر عضو غیرهمانی آن، مرتبهٔ دو دارد. اگر یک بسط گالوا دارای گروه گالوا همریخت با V4 باشد، درجهٔ آن برابر چهار است.
در این گروه، سه زیرگروه مرتبهٔ دو وجود دارد. بنابراین طبق قضیهٔ گالوا، بسط E/F دقیقاً سه میدان میانی درجهٔ دو دارد.
نمونهٔ کلاسیک آن بسط Q(sqrt(2), sqrt(3))/Q است که میدانهای میانی آن عبارتاند از:
Q(sqrt(2)), Q(sqrt(3)), Q(sqrt(6))
این ساختار نشان میدهد که چگونه میتوان از طریق گروه گالوا، تمام میدانهای میانی یک بسط را شناسایی کرد.
```
---
## پست ۱۷۰: قضیهٔ اساسی چندجملهایهای متقارن
```html
چندجملهایهای متقارن
چندجملهای در متغیرهای x1، ...، xn را متقارن مینامیم اگر با هر جایگشت متغیرها تغییر نکند.
قضیهٔ اساسی چندجملهایهای متقارن میگوید هر چندجملهای متقارن را میتوان برحسب چندجملهایهای متقارن مقدماتی (e1, e2, ..., en) نوشت.
اگر ریشههای چندجملهای f(x) را با alpha1، ...، alphan نشان دهیم، ضرایب آن دقیقاً چندجملهایهای متقارن در ریشهها هستند.
به همین دلیل، هر اتومورفیسم گالوا که ریشهها را جابهجا میکند، ضرایب چندجملهای (که در میدان پایه هستند) را ثابت نگه میدارد. این نکته کلید پیوند ریشهها به ضرایب است.
```
---
## پست ۱۷۱: دیسکریمینانت و گروه گالوا
```html
دیسکریمینانت و گروه گالوا
فرض کنید چندجملهای f(x) دارای ریشههای alpha1، ...، alphan باشد. دیسکریمینانت (Δ) حاصلضرب توان دوم تفاضل ریشههاست.
این کمیت نسبت به جایگشت ریشهها ثابت میماند و به ضرایب چندجملهای وابسته است. ریشهٔ دوم دیسکریمینانت (δ):
تحت یک جایگشت زوج ثابت میماند، اما تحت جایگشت فرد علامت آن عوض میشود. بنابراین:
Gal(f/F) ⊆ An if and only if Δ(f) در F مربع است.
پس دیسکریمینانت ابزاری قدرتمند برای فهمیدن این است که آیا گروه گالوا فقط شامل جایگشتهای زوج است یا خیر.
```
---
## پست ۱۷۲: بررسی گروه گالوا با کاهش پیمانهای
```html
بررسی گروه گالوا با کاهش پیمانهای
برای مطالعهٔ گروه گالوا یک چندجملهای با ضرایب صحیح، گاهی آن را پیمانهٔ یک عدد اول (p) کاهش میدهیم تا چندجملهای جدیدی در میدان Fp[x] داشته باشیم.
الگوی تجزیهٔ این چندجملهای جدید، اطلاعاتی از نوع جایگشتهای موجود در گروه گالوا میدهد:
- اگر f کاهشیافته تجزیهناپذیر باشد، گروه گالوا شامل یک جایگشت دوری کامل است.
- اگر به عوامل کوچکتر تجزیه شود، نوع چرخههای متناظر در گروه گالوا مشخص میشود.
این روش یکی از پرکاربردترین تکنیکهای محاسباتی در نظریهٔ گالواست که جبر را به محاسبات عددی متصل میکند.
```
---
## پست ۱۷۳: تجزیهناپذیری و ریشههای حقیقی
```html
تجزیهناپذیری چندجملهایها
پیش از شروع تحلیل گالوا، باید تجزیهناپذیری چندجملهای را ثابت کرد. اگر چندجملهای درجهٔ دو یا سه ریشهٔ گویا نداشته باشد، قطعاً تجزیهناپذیر است.
برای درجات بالاتر، معیار «کاهش پیمانهای» بسیار مفید است: اگر f(x) در پیمانهٔ p تجزیهناپذیر باشد، آنگاه در Q[x] نیز تجزیهناپذیر است.
برای نمونه، اگر کاهش یک چندجملهای درجهٔ چهار روی میدان متناهی Fp تجزیهناپذیر باشد، همان چندجملهای روی اعداد گویا هم تجزیهناپذیر باقی میماند.
این ابزار، اندازهٔ مدار ریشهها و در نتیجه اندازهٔ کل گروه گالوا را محدود میکند.
```
---
## پست ۱۷۴: اتومورفیسم فروبنیوس
```html
اتومورفیسم فروبنیوس
در میدان متناهی Fq که q=pn است، نگاشت فروبنیوس به صورت Frob(x) = xp تعریف میشود. این نگاشت جمع و ضرب را حفظ میکند.
در میدان پایهٔ Fp، فروبنیوس همان نگاشت همانی است؛ اما روی بسط Fpn غیربدیهی است. در واقع گروه گالوا این بسط، گروهی دوری است که توسط فروبنیوس تولید میشود:
Gal(Fpn / Fp) = <Frob> ≅ Cn
توانهای فروبنیوس به صورت x, xp, xp^2, ... هستند. این یکی از زیباترین نمونههای بسط گالواست که ساختار آن کاملاً توسط توانهای یک نگاشت ساده تعیین میشود.
```
---
## پست ۱۷۵: جمعبندی نظریهٔ گالوا
```html
جمعبندی نظریهٔ گالوا
نظریهٔ گالوا پیوندی عمیق میان دو دنیای متفاوت است: بسطهای میدان و گروههای تقارن.
اگر E/F یک بسط گالوا باشد، گروه Gal(E/F) تمام اطلاعات مهم را در خود دارد:
- میدانهای میانی؛
- درجهٔ بسطها؛
- نرمال بودن بسطها؛
- نحوهٔ جایگشت ریشهها؛
- حلپذیری با رادیکالها.
تناظر اصلی یعنی H ↔ EH، تمام ساختار زیرگروهی را به ساختار میدانها تبدیل میکند. و سرانجام، حلپذیری معادله با رادیکالها، مستقیماً به حلپذیری گروه گالوا وابسته است.
نظریهٔ گالوا نشان میدهد که «قابل حل بودن» یک معادله، بیش از آنکه به ظاهر اعداد وابسته باشد، به تقارنهای پنهانِ میان ریشههای آن وابسته است.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.