## پست ۱۰۶: مدار یک عنصر در کنش گروهی
```html
مدار یک عنصر در کنش گروهی
فرض کنید گروه G بر مجموعهٔ X کنش کند و
x \in X باشد. مدار عنصر x مجموعهٔ تمام نقاطی است که با اثر اعضای گروه از x به دست میآیند:
Orb_G(x) = Gx = {gx : g ∈ G}
دو عضو x,y \in X در یک مدار قرار دارند اگر و تنها اگر عضوی مانند
g \in G وجود داشته باشد که:
gx = y
مدارها مجموعهٔ X را به افرازهایی نابههمپوشان تقسیم میکنند. یعنی هر عضو دقیقاً در یک مدار قرار میگیرد.
مثال:
گروه S3 بر مجموعهٔ
{1,2,3} با جایگشتها کنش میکند. مدار عنصر ۱ کل مجموعه است، زیرا میتوان ۱ را با یک جایگشت به هر یک از عناصر ۲ و ۳ فرستاد.
```
---
## پست ۱۰۷: پایدارساز یک عنصر
```html
پایدارساز یک عنصر
اگر گروه G بر مجموعهٔ X کنش کند و
x \in X باشد، پایدارساز یا تثبیتکنندهٔ x را چنین تعریف میکنیم:
Stab_G(x) = G_x = {g ∈ G : gx = x}
اعضای G_x همان عناصری از گروهاند که نقطهٔ
x را ثابت نگه میدارند.
مجموعهٔ G_x یک زیرگروه از G است. در واقع:
1x=x
و اگر g,h \in G_x باشند، آنگاه:
(gh)x = g(hx)=gx=x
همچنین g-1x=x برقرار است؛ پس پایدارساز نسبت به ضرب و وارون بسته است.
```
---
## پست ۱۰۸: قضیهٔ مدار ـ پایدارساز
```html
قضیهٔ مدار ـ پایدارساز
یکی از مهمترین نتایج کنش گروهی، رابطهٔ میان مدار یک عنصر و پایدارساز آن است.
اگر G گروهی متناهی باشد که بر X کنش میکند، آنگاه برای هر
x \in X داریم:
|Orb_G(x)| = [G:G_x]
با استفاده از قضیهٔ لاگرانژ، این رابطه به صورت زیر نیز نوشته میشود:
|G| = |Orb_G(x)| . |G_x|
ایدهٔ اثبات این است که همدستههای چپ پایدارساز G_x با اعضای مدار
Gx متناظرند:
gG_x ⟼ gx
بنابراین اندازهٔ مدار دقیقاً برابر شاخص پایدارساز است.
```
---
## پست ۱۰۹: کنش انتقالی
```html
کنشهای انتقالی
میگوییم کنش گروه G بر مجموعهٔ ناتهی
X انتقالی است اگر هر دو عضو مجموعه با اثر مناسبی از گروه به یکدیگر منتقل شوند:
∀ x,y ∈ X, \quad ∃ g ∈ G : gx=y
به زبان مدارها، کنش انتقالی است اگر و تنها اگر فقط یک مدار داشته باشیم:
Orb_G(x)=X
برای هر x \in X در یک کنش انتقالی متناهی، قضیهٔ مدار ـ پایدارساز میدهد:
|X|=[G:G_x]
برای نمونه، گروه S_n بر مجموعهٔ
{1,2,...,n} به صورت انتقالی کنش میکند.
```
---
## پست ۱۱۰: کنش وفادار و هستهٔ کنش
```html
کنش وفادار و هستهٔ کنش
هر کنش گروه G بر مجموعهٔ X یک همریختی طبیعی ایجاد میکند:
\varphi : G \longrightarrow Sym(X)
که در آن \varphi(g) همان جایگشت القاشده توسط عمل
x \mapsto gx است.
هستهٔ این همریختی برابر عناصری است که تمام اعضای X را ثابت نگه میدارند:
Ker(\varphi) = {g ∈ G : gx=x \text{ for all } x ∈ X}
این زیرگروه را هستهٔ کنش مینامیم. کنش وفادار است اگر و تنها اگر هسته بدیهی باشد:
Ker(\varphi)={1}
در این حالت، G با زیرگروهی از
Sym(X) همریخت است.
```
---
## پست ۱۱۱: قضیهٔ کیلی
```html
قضیهٔ کیلی
قضیهٔ کیلی بیان میکند که هر گروه را میتوان به صورت گروهی از جایگشتها دید.
اگر G گروهی متناهی با مرتبهٔ n باشد، آنگاه:
G \cong H \leq S_n
برای اثبات، گروه G را بر خودش با ضرب چپ کنش میدهیم:
g . x = gx
این کنش وفادار است؛ زیرا اگر g همهٔ عناصر را ثابت نگه دارد، بهویژه عنصر همانی را ثابت میگذارد و داریم:
g . 1 = g = 1
پس G در گروه جایگشتهای مجموعهٔ خودش، یعنی
S_n، فرو مینشیند.
```
---
## پست ۱۱۲: کنش مزدوجسازی
```html
کنش مزدوجسازی
گروه G بر خودش با قاعدهٔ مزدوجسازی کنش میکند:
g . x = gxg-1
مدار عنصر x در این کنش، کلاس مزدوجی آن است:
Cl_G(x) = {gxg-1 : g ∈ G}
پایدارساز x در این کنش دقیقاً مرکزیساز آن است:
C_G(x) = {g ∈ G : gx=xg}
بنابراین قضیهٔ مدار ـ پایدارساز نتیجه میدهد:
|Cl_G(x)|=[G:C_G(x)]
این همان فرمولی است که پایهٔ معادلهٔ کلاسی را میسازد.
```
---
## پست ۱۱۳: مرکز گروه از دید کنش مزدوجسازی
```html
مرکز گروه و مدارهای تکعضوی
در کنش مزدوجسازی، عضو x \in G در مرکز قرار دارد اگر و تنها اگر تحت مزدوجسازی تغییر نکند:
gxg-1 = x
\quad \text{for all } g \in G
این شرط معادل است با:
gx=xg
\quad \text{for all } g \in G
پس اعضای مرکز دقیقاً عناصریاند که کلاس مزدوجیشان فقط یک عضو دارد:
x \in Z(G)
\Longleftrightarrow
|Cl_G(x)|=1
از این دیدگاه، مرکز گروه بخش ثابت گروه تحت کنش مزدوجسازی است.
```
---
## پست ۱۱۴: کنش گروه بر مجموعهٔ همدستهها
```html
کنش گروه بر همدستههای یک زیرگروه
فرض کنید H \leq G. گروه G بر مجموعهٔ همدستههای چپ
G/H کنش میکند:
g . (aH) = (ga)H
این کنش انتقالی است؛ زیرا هر دو همدستهٔ aH و
bH با انتخاب عنصر ba-1 به یکدیگر منتقل میشوند.
پایدارساز همدستهٔ H خود زیرگروه H است:
Stab_G(H)=H
پس از قضیهٔ مدار ـ پایدارساز به رابطهٔ آشنای شاخص میرسیم:
|G/H|=[G:H]
```
---
## پست ۱۱۵: بازنمایی گروهها با جایگشتها
```html
بازنمایی جایگشتی گروهها
هر کنش گروه G بر مجموعهٔ متناهی X، روشی برای نمایش
G به صورت جایگشتهای اعضای X فراهم میکند:
\varphi : G \longrightarrow Sym(X)
اگر کنش انتقالی باشد و |X|=n، آنگاه گروه تصویری
\varphi(G) زیرگروهی انتقالی از S_n است.
اگر کنش وفادار نیز باشد، خود گروه به صورت یک زیرگروه از S_n ظاهر میشود:
G \cong \varphi(G) \leq S_n
این دیدگاه پلی میان جبر انتزاعی و ترکیبیات ایجاد میکند؛ زیرا ساختار گروه را میتوان با اثر آن بر اشیا، نقاط، رأسها، رنگها یا همدستهها مطالعه کرد.
ادامهٔ مسیر:
پس از کنشهای گروهی، میتوان به قضیهٔ همریختی اول، هسته و تصویر همریختیها، و سپس سریهای نرمال و گروههای حلپذیر بازگشت.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.