```html
افراز مجموعه به مدارها
یکی از نتایج مهم کنش گروهی این است که مدارها مجموعهٔ
Ω
را به بخشهای جدا از هم تقسیم میکنند.
به بیان دیگر، هر عضوِ مجموعه دقیقاً در یک مدار قرار میگیرد.
اگر گروه
G
روی مجموعهٔ
Ω
عمل کند، برای هر
ω ∈ Ω
مدار آن به صورت
OrbG(ω)
تعریف میشود:
OrbG(ω) = { ωg | g ∈ G }
حال اگر دو مدار اشتراک داشته باشند، در واقع کاملاً با هم برابر خواهند بود.
بنابراین دو حالت بیشتر وجود ندارد:
- یا دو مدار هیچ اشتراکی ندارند؛
- یا دقیقاً یکساناند.
نتیجهٔ مهم
در نتیجه، مجموعهٔ
Ω
به اجتماع مدارهای مجزا تجزیه میشود:
Ω = Orb(ω1) ∪ Orb(ω2) ∪ ...
و این اجتماع یک افراز از مجموعه میسازد.
به همین دلیل، مطالعهٔ مدارها در کنش گروهی بسیار مهم است؛ زیرا ساختار مجموعه را از دیدِ عمل گروه آشکار میکند.
مثال ساده
در مثال گروه
S2
روی مجموعهٔ
{1,2}،
تنها یک مدار وجود داشت:
Orb(1) = Orb(2) = {1,2}
پس کل مجموعه فقط از یک مدار تشکیل شده بود و کنش ترایاست.
جمعبندی:
مدارها مجموعه را به بخشهای مجزا تقسیم میکنند و هر عضو مجموعه دقیقاً در یکی از این مدارها قرار میگیرد.
```
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.