ریاضیات

مدار یک عنصر در کنش گروهی (Orbit)

زمانی که یک گروه

G

روی مجموعه‌ای

Ω

کنش می‌کند، مدار یا مسیر یک عنصر

ω ∈ Ω

به مجموعهٔ تمام عناصری از

Ω

گفته می‌شود که می‌توانند از

ω

با اعمال عناصر مختلف

G

حاصل شوند.

تعریف ریاضی مدار

مدارِ عنصر

ω

تحت کنش گروه

G

را با نماد

Orb_G(ω)

یا

G(ω)

نمایش می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌شود:

به بیان دیگر، مدار

ω

مجموعه‌ای از تمام تصاویری است که می‌توانند با اعمال تک‌تک اعضای گروه

G

بر عنصر اولیه

ω

به دست آیند.

مثال S₂

در مثال قبلی که گروه

S₂ = {1, (1 2)}

روی مجموعهٔ

Ω = {1, 2}

عمل می‌کرد:

• مدار ۱:

  1¹ = 1

  و

  1^{(1 2)} = 2.

  پس:

  Orb_S2(1) = {1, 2}.

• مدار ۲:

  2¹ = 2

  و

  2^{(1 2)} = 1.

  پس:

  Orb_S2(2) = {2, 1}.

در این مثال هر دو عنصر در یک مدار قرار دارند. هنگامی که یک مجموعه تنها یک مدار داشته باشد، به آن کنش ترایای (Transitive) گفته می‌شود.