ریاضیات

مثال ساده از کنش گروه: عمل S₂ روی مجموعه

برای روشن شدن تعریف کنش گروه، یک مثال خیلی ساده را در نظر می‌گیریم.

گروه

S₂

که همان گروه جایگشت‌های مجموعهٔ

{1,2}

است، دو عضو دارد:

حالا خودِ مجموعه را هم برابر

Ω = {1,2}

می‌گیریم و کنش را به‌صورت طبیعی تعریف می‌کنیم؛ یعنی هر جایگشت، عضوهای مجموعه را جابه‌جا می‌کند.

در این حالت:

• عنصر همانی، هر عضو را ثابت نگه می‌دارد؛
• جایگشت

  (1 2)

  عددهای

  1

  و

  2

  را با هم عوض می‌کند.

اثر عنصر همانی

اگر

1

را روی

1

یا

2

اعمال کنیم، هیچ تغییری رخ نمی‌دهد:

اثر جایگشت (1 2)

در مقابل، جایگشت

(1 2)

دو عنصر را جابه‌جا می‌کند:

پس این کنش، یک نمونهٔ بسیار ساده از کنش گروهی است که در آن هر عضو گروه، به‌صورت یک تبدیل روی مجموعه عمل می‌کند.

این مثال نشان می‌دهد که کنش گروهی می‌تواند حتی در حالت بسیار کوچک هم مفهومِ «جابجایی» و «ثابت ماندن» را به‌خوبی نمایش دهد.