شرایط اساسی کنش گروه: همانی و سازگاری
پس از تعریف کنش گروهی به صورت یک تابع
Ω×G → &Omega
که در آن
(ω,α)
به
ωα
فرستاده میشود، باید دو شرط اصلی برقرار باشد تا این تابع واقعاً «کنش گروه» نامیده شود.
این دو شرط دقیقاً همانهایی هستند که در تصویر نوشته شدهاند.
۱) شرط همانی
اگر
1
عنصر همانیِ گروه
G
باشد، باید برای هر
ω ∈ &Omega
داشته باشیم:
ω1 = ω
یعنی عملِ عنصر همانی هیچ تغییری در اعضای مجموعه ایجاد نمیکند.
۲) شرط سازگاری با ضرب گروهی
برای هر
α,β ∈ G
و هر
ω ∈ &Omega
باید رابطهٔ سازگاری زیر برقرار باشد:
(ωα)β = ωαβ
این فرمول دقیقاً همان چیزی است که در تصویر با نمادگذاریِ «توانمانند» آمده:
اگر ابتدا
&alpha
را اعمال کنیم و بعد
&beta
را، نتیجه باید همان باشد که یکباره عنصر
α&beta
را اعمال کنیم.
بنابراین این دو شرط تضمین میکنند که عملکردنِ عناصر گروه روی مجموعه، ساختار ضربِ گروه را درست منعکس میکند.
جمعبندی:
یک تابع
Ω×G → &Omega
زمانی «کنش گروه» است که هم
ω1=ω
و هم
(ωα)β=ωαβ
برای همهٔ اعضا برقرار باشد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.