زیرگروه تولیدشده توسط دور (1 2 ... n) و معنی توانها
در این صفحه، یک دورِ (1 2 ... n) را در نظر گرفته و زیرگروه تولیدشده توسط آن را با
N=<(1 2 ... n)>
معرفی کرده است.
N = < (1 2 ... n) >
ایدهٔ اصلی نوشته این است که برای فهمیدن (1 2 ... n)k کافی است اثر آن روی اعضا را دنبال کنیم.
در متن آمده که اگر
x=(1 2 ... n)
باشد، آنگاه برای هر i داریم (با نگارش دستنویس):
x(i) = i+1 (mod n)
و بهطور کلی اثر توانها روی i به صورت «جابهجاییِ k-تایی» بیان شده است؛ یعنی:
(در تصویر این قسمت با نماد mod n نوشته شده، ولی جزئیات دقیقِ یکی دو سطر کمرنگ است.)
xk(i) = i + k (mod n)
نتیجهٔ مهمی که در همان صفحه دنبال میشود این است که توانهای مختلفِ x اعضای زیرگروه
N
را تشکیل میدهند و دوباره بعد از چند گام به همانی برمیگردند.
نکته: چند کلمهٔ توضیحی در میانهٔ صفحه خوانا نیست (کمرنگ/روی سایه افتاده)، بنابراین همان قسمت را با حدس بازسازی نکردم.
چه زمانی (1 2 ... n)k همانی میشود؟ (طبق دستنوشته)
ادامهٔ همان بحثِ دور x=(1 2 ... n) است. در دستنوشته با زبان «پیمانهای» توضیح میدهد که
اگر اثر x روی اندیسها افزایشِ یکواحدی باشد، پس اثر xk
افزایشِ k واحدی است (پیمانهٔ n).
x(i)=i+1 (mod n) ⇒ xk(i)=i+k (mod n)
سپس از همین نتیجه، شرطِ همانی شدن به دست میآید: برای اینکه xk همانی باشد باید برای همهٔ
i داشته باشیم i+k ≡ i (mod n)، یعنی:
xk = (1) ⇔ k ≡ 0 (mod n)
در دستنوشته از همین جا نتیجه میگیرد که توانها «دورهای» هستند و مقدار k فقط تا پیمانهٔ
n اهمیت دارد.
(یک خط در تصویر دربارهٔ اینکه «برای هر k یک نمایش پیمانهای داریم» وجود دارد، اما بخشی از جمله خوانا نیست.)
یک مثال از جایگشتِ بزرگتر: حاصلضرب چند ترانهشتِ جدا از هم
در یکی از تصاویر، یک مثال با اعداد بزرگتر (مثل 8,9,10,11,12) نوشته شده و یک جایگشت به صورت
حاصلضربِ چند ترانهشتِ مجزا (disjoint transpositions) نمایش داده شده است.
سطرِ خوانا از آن مثال به این شکل است (همان ترتیبِ داخل پرانتزها در تصویر):
(1 12)(2 11)(3 9)(4 8)(5 9)(7 10)
توجه: در همین سطر، یک ابهام وجود دارد چون عدد 9 در دو پرانتز تکرار شده
((3 9) و (5 9)) و در یک جایگشتِ «ترانهشتهای مجزا» این اتفاق نباید بیفتد.
بنابراین یا یکی از این اعداد در تصویر اشتباه خوانده میشود یا در خود دستنوشته بازنویسیِ مرحلهای بوده است.
من این بخش را قطعی اصلاح نمیکنم.
در همان صفحه اشاره شده که چنین نمایشهایی برای کار با اعضای گروههای متقارن مثل
Sn
استفاده میشود و اینکه «اگر ترانهشتها جدا از هم باشند»، محاسبات سادهتر میشود.
یادداشتِ دستنویس: ساختن جایگشتها با ترانهشتها
در ادامهٔ مثالهای عددی، یک جملهٔ کلیدی (به صورت نتیجه/یادداشت) دیده میشود که مضمونش این است:
«با ترانهشتها میتوان جایگشتهای گروه متقارن را تولید کرد».
متن دقیقِ یک بخش از این نتیجه در تصویر کمرنگ است، اما عباراتی مثل
Sn
و «تولید میکند» در انتهای خطوط قابل تشخیص است.
بنابراین اینجا فقط صورتِ کلیِ نوشته را (بدون ادعای جزئیاتِ اثباتیِ خارج از تصویر) میآورم:
ایدهٔ صفحه: ترانهشتها (بهخصوص ترانهشتهای مجاور) ابزار اصلی برای ساختن/تجزیهٔ اعضای
Sn
هستند و با آنها میتوان به همهٔ جایگشتها رسید.
این بخش را عمداً «کوتاه و مطابق کلیتِ دستنوشته» نگه داشتم، چون چند کلمهٔ کلیدی در تصویر خوانا نیست
و نمیخواهم قضیه را دقیقتر از آنچه در عکس مشخص است، صورتبندی کنم.
یادداشتِ دستنویس دربارهٔ An و زوج/فرد بودن جایگشتها
در پایین یکی از صفحات، اشارههایی به
An
و مقایسه با
Sn
دیده میشود (عباراتی مثل An-1 و نیز صحبت از «زوج/فرد» قابل تشخیص است).
محتوای دقیق چند سطر آخر کاملاً خوانا نیست، ولی «خط فکری» صفحه این است که:
جایگشتها به دو دستهٔ زوج و فرد تقسیم میشوند و گروه متناوب
An
از جایگشتهای زوج تشکیل میشود.
An = { even permutations in Sn }
(در این صفحه همچنین نشانههایی از استفاده از همین ایده در تمرینهای بعدی دیده میشود، اما بخشهایی از متن زیر خط افتاده/کمرنگ است
و قابل بازنویسیِ قطعی نیست.)
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.