تابع علامت و ساختار همدستههای An در Sn
یکی از راههای اساسی برای شناخت گروه متناوب، استفاده از نگاشت همریختی به نام تابع علامت است. این تابع جایگشتها را به دو دستهٔ زوج و فرد تقسیم میکند.
۱. تعریف تابع علامت (sgn)
تابع علامت به صورت زیر تعریف میشود:
sgn : Sn → {1, -1}
که در آن برای هر جایگشت σ، اگر σ زوج باشد مقدار 1 و اگر فرد باشد مقدار -1 حاصل میشود. هستهٔ این نگاشت (Kernel)، دقیقاً گروه متناوب است:
Ker(sgn) = An
۲. تجزیه Sn به همدستهها
از آنجا که An یک زیرگروه نرمال با شاخص ۲ در Sn است، کل گروه متقاران را میتوان به دو همدسته (Coset) مجزا تقسیم کرد:
Sn = An ∪ (1 2)An
در این تجزیه:
- مجموعهٔ An شامل تمام جایگشتهای زوج است.
- مجموعهٔ (1 2)An شامل تمام جایگشتهای فرد است (که از ضرب ترانهشت فرد (1 2) در اعضای زوج به دست میآیند).
نتیجه: [Sn : An] = 2
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.