ریاضیات

گروه متقارن S₅

در این نوشته، گروه متقارن

S₅

را بررسی می‌کنیم. این گروه شامل همه‌ی جایگشت‌های یک مجموعه‌ی ۵ عضوی است؛

یعنی هر طریقی که بتوان ۵ عنصر را جابه‌جا کرد، یک عضو از این گروه به شمار می‌آید.

مرتبه‌ی گروه

چون برای جایگشت ۵ عنصر، به ترتیب ۵ انتخاب برای جایگاه اول، ۴ انتخاب برای جایگاه دوم،

۳ انتخاب برای جایگاه سوم، ۲ انتخاب برای جایگاه چهارم و ۱ انتخاب برای جایگاه پنجم داریم،

پس تعداد کل جایگشت‌ها برابر است با:

بنابراین مرتبه‌ی گروه

S₅

برابر ۱۲۰ است.

اهمیت S₅

گروه

S₅

از مهم‌ترین نمونه‌های گروه‌های متقارن است.

این گروه هم از نظر ساختار داخلی و هم از نظر نقش آن در نظریه‌ی معادلات اهمیت ویژه‌ای دارد.

در بسیاری از بحث‌های مقدماتی و پیشرفته‌ی جبر، بررسی

S₅

نقطه‌ی ورود خوبی برای فهم رفتار گروه‌های متقارن بزرگ‌تر است.

نکته‌ی پایانی

هر عضو از

S₅

را می‌توان به صورت ترکیبی از دورها یا ترانهاشت‌ها نوشت؛

و همین موضوع، مطالعه‌ی ساختار این گروه را به مسئله‌ای جذاب و اساسی در نظریه‌ی گروه‌ها تبدیل می‌کند.