ریاضیات

مسئله ۷۸ (قضیهٔ سرپینسکی) — نتیجه‌ها و جمع‌بندی برای بلاگفا

هدف: برای هر عدد طبیعی ثابت s نشان می‌دهیم معادلهٔ

1/x₁ + 1/x₂ + ... + 1/x_s = 1

(با x_i‌های طبیعی) فقط تعداد متناهی جواب دارد.

این گزاره در ادبیات «کسرهای مصری» (Egyptian Fractions) به «قضیهٔ سرپینسکی» مشهور است.

۱) نتیجهٔ اصلی: متناهی بودن تعداد جواب‌ها

برای هر s ثابت، مجموعهٔ تمام s-تایی‌های طبیعی

(x₁,...,x_s) که معادله را ارضا کنند، متناهی است

(اگر جواب‌ها را تا جایگشت یکی حساب کنیم، باز هم متناهی است).

۲) کران صریح برای کوچک‌ترین مخرج

بدون از دست دادن کلیت، جواب‌ها را مرتب می‌کنیم:

x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_s.

آن‌گاه چون هر جملهٔ سمت چپ ≤ 1/x₁ است، داریم:

1 = (1/x₁ + ... + 1/x_s) ≤ s · (1/x₁)

 ⇒  x₁ ≤ s

پس کوچک‌ترین مخرج حتماً یکی از اعداد 1,2,...,s است؛ بنابراین فقط تعداد محدودی

انتخاب برای x₁ وجود دارد.

۳) کاهشِ درجه (کاهش از s مجهول به s−1 مجهول)

اگر x₁ = k (که طبق بند قبل فقط تعداد محدودی مقدار می‌گیرد)، آنگاه:

1/x₂ + ... + 1/x_s = 1 − 1/k

یعنی هر بار با ثابت کردن کوچک‌ترین مخرج، مسئله به معادله‌ای با یک مجهول کمتر و یک سمت راستِ گویای ثابت

تبدیل می‌شود. این همان «موتور استقرایی» برهان است و نشان می‌دهد جست‌وجوی جواب‌ها در هر مرحله محدود می‌شود.

۴) جمع‌بندی استقرایی

چون x₁ فقط تعداد محدودی انتخاب دارد و برای هر انتخاب، معادله به مسئله‌ای با

تعداد جملات کمتر فروکاسته می‌شود، با استقرا نتیجه می‌گیریم: برای هر s، تعداد جواب‌ها

متناهی است.

۵) چند مثال کوتاه (برای حس گرفتن از جواب‌ها)

• s=1:

  تنها جواب (1).

• s=2:

  تنها جواب (تا جابجایی) (2,2) چون 1/2+1/2=1.

• s=3:

  جواب‌های مشهور (تا جابجایی):

  (3,3,3)،

  (2,3,6)،

  (2,4,4).

نتیجهٔ نهایی: با اینکه برای sهای بزرگ‌تر ممکن است بعضی مخرج‌ها خیلی بزرگ شوند،

اما برای هر s ثابت، تعداد کل نمایش‌های ممکنِ

1 به صورت مجموعِ s کسرِ واحد، همیشه محدود است.